贡献者： addis
1这里列举一些常用的矢量算符恒等式，证明见文末。
1. 一阶导数
梯度
\begin{equation}
\boldsymbol\nabla (fg) = f \boldsymbol\nabla g + g \boldsymbol\nabla f~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) + \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) + ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{B}} + ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{equation}
散度
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} (f \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = f ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol\nabla f)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) - \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} )~.
\end{equation}
旋度
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} (f \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = f ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) + ( \boldsymbol\nabla f) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{A}} - ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) - \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} )~.
\end{equation}
2. 二阶导数
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol\nabla f) = \boldsymbol{\nabla}^2 f~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 (f \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = ( \boldsymbol{\nabla}^2 f) \boldsymbol{\mathbf{v}} + f \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{v}} + 2 ( \boldsymbol\nabla f \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{v}} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol\nabla f) = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = 0~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{v}} ) - \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{v}} ~.
\end{equation}
3. 复合函数求导
使用链式法则容易证明以下关系
\begin{equation}
\boldsymbol\nabla f[g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] = f'[g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] \boldsymbol\nabla g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{f}} [g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] = \boldsymbol{\mathbf{f}} '[g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{f}} [g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] = \left[ \boldsymbol\nabla g( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right] \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{f}} '[g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )]~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 f[g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] = f''[g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] ( \boldsymbol\nabla g)^2 + f'[g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] \boldsymbol{\nabla}^2 g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
4. 证明
理论上，我们可以直接根据定义，将各个矢量记为分量的形式证明，但直接写出来非常繁琐。一种简单的记号是使用克罗内克 delta 函数 $\delta_{i,j}$ 和 Levi-Civita 符号 $\epsilon_{i,j,k}$，再结合爱因斯坦求和约定证明。
我们另外推荐一种不需要写出分量的推导方法，见 “一种矢量算符的运算方法”。
1. ^ 参考 [1] 相关章节。
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed