矢量算符运算法则

贡献者： addis

预备知识　梯度，旋度，列维—奇维塔符号

　　¹这里列举一些常用的矢量算符恒等式，证明见文末。

1. 一阶导数

\begin{matrix} (1) & \nabla (f g) = f \nabla g + g \nabla f, \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & \nabla (A \cdot B) = A \times (\nabla \times B) + B \times (\nabla \times A) + (A \cdot \nabla) B + (B \cdot \nabla) A . \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & \nabla \cdot (f A) = f (\nabla \cdot A) + A \cdot (\nabla f), \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & \nabla \cdot (A \times B) = B \cdot (\nabla \times A) - A \cdot (\nabla \times B) . \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & \nabla \times (f A) = f (\nabla \times A) + (\nabla f) \times A, \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & \nabla \times (A \times B) = (B \cdot \nabla) A - (A \cdot \nabla) B + A (\nabla \cdot B) - B (\nabla \cdot A) . \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^{2} f, \end{matrix}

\begin{matrix} (8) & \nabla^{2} (f v) = (\nabla^{2} f) v + f \nabla^{2} v + 2 (\nabla f \cdot \nabla) v, \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & \nabla \times (\nabla f) = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & \nabla \cdot (\nabla \times v) = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & \nabla \times (\nabla \times v) = \nabla (\nabla \cdot v) - \nabla^{2} v . \end{matrix}

　　使用链式法则容易证明以下关系

\begin{matrix} (12) & \nabla f [g (r)] = f^{'} [g (r)] \nabla g (r), \end{matrix}

\begin{matrix} (13) & \nabla \cdot f [g (r)] = f^{'} [g (r)] \cdot \nabla g (r), \end{matrix}

\begin{matrix} (14) & \nabla \times f [g (r)] = [\nabla g (r)] \times f^{'} [g (r)], \end{matrix}

\begin{matrix} (15) & \nabla^{2} f [g (r)] = f^{″} [g (r)] (\nabla g)^{2} + f^{'} [g (r)] \nabla^{2} g (r) . \end{matrix}

　　理论上，我们可以直接根据定义，将各个矢量记为分量的形式证明，但直接写出来非常繁琐。一种简单的记号是使用克罗内克 delta 函数 $δ_{i, j}$ 和 Levi-Civita 符号 $ϵ_{i, j, k}$ ，再结合爱因斯坦求和约定证明。

　　我们另外推荐一种不需要写出分量的推导方法，见 “一种矢量算符的运算方法”。

1. ^ 参考 [1] 相关章节。

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed