复合函数的偏导、链式法则（多元微积分）

贡献者： addis

预备知识　全微分，复合函数求导

　　先来看一个二元函数的例子：若已知二元函数 $z = f (u, v)$ ， $z$ 是 $u, v$ 的函数，但若 $u$ 和 $v$ 都又是 $x$ 和 $y$ 的函数，则 $z$ 最终是 $x$ 和 $y$ 的函数，即

\begin{matrix} (1) & z (x, y) = f [u (x, y), v (x, y)] . \end{matrix}

那如何求

z (x, y)

的偏导数呢？我们先来看全微分关系

\begin{matrix} (2) & d z = \frac{\partial f}{\partial u} d u + \frac{\partial f}{\partial v} d v . \end{matrix}

而

u

和

v

作为

x, y

的函数，它们的微小变化又都是由

x

和

y

的微小变化引起的，所以有全微分

\begin{matrix} (3) & d u = \frac{\partial u}{\partial x} d x + \frac{\partial u}{\partial y} d y, d v = \frac{\partial v}{\partial x} d x + \frac{\partial v}{\partial y} d y . \end{matrix}

代入上式得

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} d z & = \frac{\partial f}{\partial u} (\frac{\partial u}{\partial x} d x + \frac{\partial u}{\partial y} d y) + \frac{\partial f}{\partial v} (\frac{\partial v}{\partial x} d x + \frac{\partial v}{\partial y} d y) \\ = (\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}) d x + (\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}) d y, \end{aligned} \end{matrix}

这就是

z

关于

x

和

y

的全微分关系。根据偏导数的定义

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}, \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} . \end{matrix}

这也叫偏导的链式法则。为了方便我们也会把

\partial z / \partial x

和

\partial z / \partial y

分别记为

\partial f / \partial x

和

\partial f / \partial y

，但有可能产生歧义。

　　我们可以把以上的例子拓展到任意多个变量的情况，即令

\begin{matrix} (7) & z (x_{1}, \dots, x_{N}) = f [u_{1} (x_{1}, \dots, x_{N}), \dots, u_{M} (x_{1}, \dots, x_{N})] . \end{matrix}

这时链式法则可以记为

\begin{matrix} (8) & \frac{\partial z}{\partial x_{i}} = \sum_{j} \frac{\partial f}{\partial u_{j}} \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}} . \end{matrix}

例 1　

　　令 $u (x, y) = x + y$ ， $v (x, y) = x - y$ ， $f (u, v) = u^{2} + v^{2}$ ，求 $\partial f / \partial x$ 和 $\partial f / \partial y$ 。

　　解：直接套用式 1 得

\begin{matrix} (9) & \frac{\partial f}{\partial x} = 2 u \cdot 1 + 2 v \cdot 1 = 4 x, \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & \frac{\partial f}{\partial y} = 2 u \cdot 1 + 2 v \cdot (- 1) = 4 y . \end{matrix}

　　为了验证，我们也可以直接写出

\begin{matrix} (11) & f (x, y) = (x + y)^{2} + (x - y)^{2} = 2 x^{2} + 2 y^{2} . \end{matrix}

再直接求偏导得

\partial f / \partial x = 4 x

，

\partial f / \partial y = 4 y

，可见结果也是相同的。

1. 显含

　　在物理中，尤其在分析力学中，我们通常会遇见显含（explicitly depends on）的概念。当

\begin{matrix} (12) & f (u_{1}, \dots, u_{M}) \end{matrix}

中的某个

u_{i}

满足

\partial f / \partial u_{i}

不恒为零时，我们说

f

显含

u_{i}

。特殊地，当某个

u_{i} (x_{1}, \dots, x_{N}) = x_{j}

时，我们就说函数

f

显含

x_{j}

，否则就说

f

不显含

x_{j}

。

　　若 $f$ 不显含 $x_{j}$ ，但某个 $u_{i}$ 满足 $\partial u_{i} / \partial x_{j}$ 不恒为零，我们就说 $f$ 隐含（implicitly depends on） $x_{j}$ 。

例 2　

　　一个质点延着一条静止轨道 $y = 0$ 运动，它的动能为 $E (v_{x}) = m v_{x}^{2}$ 。虽然速度 $v_{x}$ 是时间 $t$ 的函数，但我们说 $E (v_{x})$ 不显含时间。

　　若轨道在 $y$ 方向具有随时间变化的速度 $v_{y} (t) = a t^{2}$ ，如果把动能记为 $E (v_{x}, v_{y}) = m (v_{x}^{2} + v_{y}^{2})$ ，那么该函数仍然不显含 $t$ 。

　　仍然令 $v_{y} (t) = a t^{2}$ ，但把动能记为 $E (v_{x}, t) = m v_{x}^{2} + m (a t^{2})^{2}$ ，那么该函数就显含 $t$ 。

　　虽然在后两种情况中物理情景都是一样的，但 $E (v_{x}, v_{y})$ 和 $E (v_{x}, t)$ 在数学上却是两个不同的函数，使用了通用函数名 $E$ 。这两个函数分别是 $f (x, y) = m (x^{2} + y^{2})$ 和 $g (x, y) = m x^{2} + m a^{2} y^{4}$ ，显然不是同一个函数。它们都显含 $x, y$ ，不显含其他任何变量。

全导数

　　特殊地，当所有的 $u_{i}$ 都只是一个变量 $x$ 的函数时，我们可以求全导数 $d f / d x$ 。这时可以分为 $f$ 隐含 $x$ 和显含 $x$ 来讨论。