贡献者： addis
先来看一个二元函数的例子：若已知二元函数 $z = f(u,v)$，$z$ 是 $u, v$ 的函数，但若 $u$ 和 $v$ 都又是 $x$ 和 $y$ 的函数，则 $z$ 最终是 $x$ 和 $y$ 的函数，即
\begin{equation}
z(x,y) = f[u(x,y),v(x,y)]~.
\end{equation}
那如何求 $z(x,y)$ 的偏导数呢？我们先来看
全微分关系
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{z} = \frac{\partial f}{\partial u} \,\mathrm{d}{u} + \frac{\partial f}{\partial v} \,\mathrm{d}{v} ~.
\end{equation}
而 $u$ 和 $v$ 作为 $x, y$ 的函数，它们的微小变化又都是由 $x$ 和 $y$ 的微小变化引起的，所以有全微分
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{u} = \frac{\partial u}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial u}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} ~,
\quad
\,\mathrm{d}{v} = \frac{\partial v}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial v}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} ~.
\end{equation}
代入上式得
\begin{equation} \begin{aligned}
\,\mathrm{d}{z} &= \frac{\partial f}{\partial u} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial u}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} \right) + \frac{\partial f}{\partial v} \left( \frac{\partial v}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial v}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} \right) \\
&= \left( \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} \right) \,\mathrm{d}{x} + \left( \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} \right) \,\mathrm{d}{y} ~,
\end{aligned} \end{equation}
这就是 $z$ 关于 $x$ 和 $y$ 的全微分关系。根据偏导数的定义
\begin{equation}
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} ~.
\end{equation}
这也叫偏导的
链式法则。为了方便我们也会把 $ \partial z/\partial x $ 和 $ \partial z/\partial y $ 分别记为 $ \partial f/\partial x $ 和 $ \partial f/\partial y $，但有可能产生歧义。
我们可以把以上的例子拓展到任意多个变量的情况，即令
\begin{equation}
z(x_1, \dots, x_N) = f[u_1(x_1, \dots, x_N), \dots, u_M(x_1, \dots, x_N)]~.
\end{equation}
这时链式法则可以记为
\begin{equation}
\frac{\partial z}{\partial x_i} = \sum_j \frac{\partial f}{\partial u_j} \frac{\partial u_j}{\partial x_i} ~.
\end{equation}
例 1
令 $u(x,y) = x + y$，$v(x,y) = x - y$，$f(u, v) = u^2 + v^2$，求 $ \partial f/\partial x $ 和 $ \partial f/\partial y $。
解：直接套用式 1 得
\begin{equation}
\frac{\partial f}{\partial x} = 2u \cdot 1 + 2v \cdot 1 = 4x~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\partial f}{\partial y} = 2u \cdot 1 + 2v \cdot (-1) = 4y~.
\end{equation}
为了验证，我们也可以直接写出
\begin{equation}
f(x, y) = (x+y)^2 + (x-y)^2 = 2x^2 + 2y^2~.
\end{equation}
再直接求偏导得 $ \partial f/\partial x = 4x$，$ \partial f/\partial y = 4y$，可见结果也是相同的。
1. 显含
在物理中，尤其在分析力学中，我们通常会遇见显含（explicitly depends on）的概念。当
\begin{equation}
f(u_1, \dots, u_M)~
\end{equation}
中的某个 $u_i$ 满足 $ \partial f/\partial u_i $ 不恒为零时，我们说 $f$
显含 $u_i$。特殊地，当某个 $u_i(x_1, \dots, x_N) = x_j$ 时，我们就说函数 $f$
显含 $x_j$，否则就说 $f$
不显含 $x_j$。
若 $f$ 不显含 $x_j$，但某个 $u_i$ 满足 $ \partial u_i/\partial x_j $ 不恒为零，我们就说 $f$ 隐含（implicitly depends on） $x_j$。
例 2
一个质点延着一条静止轨道 $y = 0$ 运动，它的动能为 $E(v_x) = m v_x^2$。虽然速度 $v_x$ 是时间 $t$ 的函数，但我们说 $E(v_x)$ 不显含时间。
若轨道在 $y$ 方向具有随时间变化的速度 $v_y(t) = a t^2$，如果把动能记为 $E(v_x, v_y) = m(v_x^2 + v_y^2)$，那么该函数仍然不显含 $t$。
仍然令 $v_y(t) = a t^2$，但把动能记为 $E(v_x, t) = m v_x^2 + m (a t^2)^2$，那么该函数就显含 $t$。
虽然在后两种情况中物理情景都是一样的，但 $E(v_x, v_y)$ 和 $E(v_x, t)$ 在数学上却是两个不同的函数，使用了通用函数名 $E$。这两个函数分别是 $f(x, y) = m(x^2 + y^2)$ 和 $g(x, y) = mx^2 + ma^2 y^4$，显然不是同一个函数。它们都显含 $x, y$，不显含其他任何变量。
全导数
特殊地，当所有的 $u_i$ 都只是一个变量 $x$ 的函数时，我们可以求全导数 $ \mathrm{d}{f}/\mathrm{d}{x} $。这时可以分为 $f$ 隐含 $x$ 和显含 $x$ 来讨论。