一种矢量算符的运算方法
贡献者： addis
声明：本文中的方法是笔者原创，使用的下标符号也是笔者自己定义的。
在用 $ \boldsymbol\nabla $ 算符计算梯度，散度和旋度时，我们几乎可以将其看作一个矢量进行运算，唯一的区别就是我们需要明确每一项中的偏微分是对哪些变量进行的。例如
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} (U \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = \frac{\partial}{\partial{x}} (UA_x) + \frac{\partial}{\partial{y}} (UA_y) + \frac{\partial}{\partial{z}} (UA_z)~,
\end{equation}
\begin{equation}
( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) U = A_x \frac{\partial U}{\partial x} + A_y \frac{\partial U}{\partial y} + A_z \frac{\partial U}{\partial z} ~.
\end{equation}
如果以上两式中把 $ \boldsymbol\nabla $ 符号替换成一个普通的矢量，两式将没有任何区别。可见 $ \boldsymbol\nabla $ 符号包含了另一层信息，这个信息通过 $ \boldsymbol\nabla $ 所在的位置来体现，但我们希望能定义一种新的符号 $[\dots]_{\dots}$，把偏导算符的作用对象在方括号的角标中声明，而在方括号内的 $ \boldsymbol\nabla $ 可以像普通矢量一样进行运算，例如
\begin{equation}
[ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} (U \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{A\partial U}
\equiv [ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla U]_{A\partial U}
\equiv [U \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} ]_{A\partial U}
\equiv \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla U~.
\end{equation}
又如，利用矢量公式 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} ) = \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} ) - \boldsymbol{\mathbf{C}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} )$，有
\begin{equation}
[ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )]_{\partial (AB)} = [ \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) + \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{\partial (AB)}~.
\end{equation}
另外，由乘法的求导法则，有
\begin{equation}
[\dots]_{\partial (AB)} = [\dots]_{B\partial A} + [\dots]_{A\partial B}~.
\end{equation}
使用这个新符号，我们可以化简许多常用的矢量公式。
例 1
证明 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} (U \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = ( \boldsymbol\nabla U) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} + U \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} $。
\begin{equation} \begin{aligned}
{}[ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} (U \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{\partial(UA)}
&= [ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} (U \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{A\partial U} + [ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} (U \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{U\partial A}\\
&= [( \boldsymbol\nabla U) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ]_{A\partial U} + [U \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ]_{U\partial A}\\
&= ( \boldsymbol\nabla U) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} + U \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ~,
\end{aligned} \end{equation}
证毕。
例 2
化简 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} )$。
\begin{equation}
{}[ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} )]_{\partial^2 E} = [ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) - \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} ]_{\partial^2 E}
= \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) - \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} ~.
\end{equation}
例 3
证明 $ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} ) = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{G}} ) + \boldsymbol{\mathbf{G}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} { \boldsymbol{\mathbf{F}} }) + ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{G}} + ( \boldsymbol{\mathbf{G}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{F}} $。
从右向左证明，上式等于
\begin{equation} \begin{aligned}
&\quad [ \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{G}} )]_{F\partial G} + [ \boldsymbol{\mathbf{G}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} { \boldsymbol{\mathbf{F}} })]_{G\partial F} + [( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{G}} ]_{F\partial G} + [( \boldsymbol{\mathbf{G}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{F}} ]_{G\partial F}\\
&= [ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} ) - ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{G}} ]_{F\partial G} +[ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} ) - ( \boldsymbol{\mathbf{G}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{F}} ]_{G\partial F} \\
& \qquad + [( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{G}} ]_{F\partial G} + [( \boldsymbol{\mathbf{G}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{F}} ]_{G\partial F}\\
&= [ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} )]_{F\partial G} + [ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} )]_{F\partial G}\\
&= [ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} )]_{\partial (FG)} = \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} )~,
\end{aligned} \end{equation}
证毕。