贡献者： addis
预备知识 矢量算符常用公式
，牛顿—莱布尼兹公式的高维拓展
以下同一公式中所有体积分 $\int \dots \,\mathrm{d}{V} $ 都是在某个有限区域 $\mathcal V$ 进行，所有的曲面积分 $\int \dots \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } $ 都在 $\mathcal V$ 的边界 $\mathcal S$ 上进行，正方向向外。
1. 标量分部积分
这是最接近一元函数分部积分的高维拓展
\begin{equation}
\int ( \boldsymbol\nabla f) g \,\mathrm{d}{V} = \oint fg \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } - \int f ( \boldsymbol\nabla g) \,\mathrm{d}{V} ~.
\end{equation}
对于二维情况，面积分变为线积分，方向沿逆时针。一维情况就一元函数分部积分。
证明
把式 1 两边积分，移项得
\begin{equation}
\int ( \boldsymbol\nabla f) g \,\mathrm{d}{V} = \int \boldsymbol\nabla (fg) \,\mathrm{d}{V} - \int f ( \boldsymbol\nabla g) \,\mathrm{d}{V} ~.
\end{equation}
现在只需证明
\begin{equation}
\int \boldsymbol\nabla (fg) \,\mathrm{d}{V} = \oint fg \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~,
\end{equation}
这由
式 1 可证。证毕。
2. 矢量分部积分
\begin{equation}
\int f ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \,\mathrm{d}{V} = \oint f \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } - \int \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol\nabla f) \,\mathrm{d}{V} ~.
\end{equation}
参考
[1]，在电动力学中有应用（见 “
电场的能量”）。
证明
把式 3 两边做体积分
\begin{equation}
\int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} (f \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \,\mathrm{d}{V} = \int f ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \,\mathrm{d}{V} + \int \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol\nabla f) \,\mathrm{d}{V} ~.
\end{equation}
由散度定理，左边的体积分变为面积分 $\oint f \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } $，移项得
式 4 。证毕。
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed