贡献者： 零穹; addis
具有以下形式的方程称为欧拉方程。
\begin{equation}
\sum_{i=0}^{n}a_ix^{n-i}y^{(n-i)}=0~,
\end{equation}
其中 $a_0=1,a_1,\cdots,a_n$ 为常数。
欧拉方程可化为具有如下形式的常系数线性方程
\begin{equation}
\varphi(D_t)y=0~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\begin{aligned}
&x=e^t~,\\
&D_t= \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} ~,\\
&\varphi(D_t)=\sum_{i=0}^{n-1}a_iD_t(D_t-1)\cdots(D_t-n+i+1)+a_n=0~.
\end{aligned}
\end{equation}
欧拉方程式 1 具有如下形式的解
\begin{equation}
y=\sum_{i=1}^mx^{r_i}P_{k_i-1}(\ln x)~.
\end{equation}
其中，$r_s$ 是下面方程的根
\begin{equation}
\varphi(r)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ir(r-1)\cdots(r-n+i+1)+a_n=0~.
\end{equation}
$k_s$ 是根 $r_s$ 的重数，$m$ 是不同根的个数，$P_{k_s-1}(\ln x)$ 是具有任意系数的 $k_s-1$ 次多项式。
特别的，当式 5 的所有根均为单根时，欧拉方程式 1 的解为
\begin{equation}
y=\sum_{i=1}^{n}C_ix^{r_i}~.
\end{equation}
1. 证明
令
\begin{equation}
x=e^t,\quad D_t= \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} ,\quad D_x= \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} ~.
\end{equation}
则
\begin{equation}
D_ty= \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}} =e^tD_xy~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
D_xy=e^{-t}D_ty~.
\end{equation}
上式表明，对自变量 $x$ 的函数 $y$ 施于运算 $D_x$，相当于施于运算 $e^{-t}D_t$。于是
\begin{equation}
D_x^2y=e^{-t}D_t(e^{-t}D_t)y~.
\end{equation}
由记号因子的性质
式 14 和
式 13
\begin{equation}
D_x^2y=e^{-2t}(D_t-1)D_ty=e^{-2t}D_t(D_t-1)y~.
\end{equation}
用数学归纳法，容易证明下式成立
\begin{equation}
D_x^sy=e^{-st}D_t(D_t-1)\cdots (D_t-s+1)y~.
\end{equation}
上式可写成
\begin{equation}
x^sD_x^sy=D_t(D_t-1)\cdots (D_t-s+1)y~.
\end{equation}
代入
式 1 ，便得
式 2 .
对于算符 $\varphi(D_t)$，若存在函数 $f(t)$，使得
$\varphi(D_t)f(t)=\lambda f(t)$（$\lambda$ 为常数），则称 $f(t)$ 为其具有特征值 $\lambda$ 的特征函数。显然，$e^{rt}$($r$ 为常数)为 $\varphi(D_t)$ 的特征函数，对应特征值为 $\varphi(r)$。对方程式 2 ，这等价于找 $\varphi(D_t)$ 的具有特征值 $0$ 的特征函数，即
\begin{equation}
\varphi(r)=0~,
\end{equation}
方程
式 14 叫作常系数线性方程
式 2 的
特征方程。
对于线性齐次方程，其解的线性叠加仍是其解，即若式 14 的根 $r_1,r_2,\cdots,r_n$ 都是单根，则其方程式 2 的解为
\begin{equation}
y=\sum_{i=1}^{n}C_ie^{r_it}=\sum_i^{n}C_ix^{r_i}~.
\end{equation}
若
式 14 的根 $r_1,r_2,\cdots,r_n$ 为重根，其中重数根 $r_s$ 的重数为 $k_s$，不同根的个数为 $m$。则可证明 $e^{r_st}P_{k_s-1}(t)$ 是方程
式 2 的解，于是方程
式 1 的解形式为
式 4 .