贡献者： _Eden_; addis; suit harry
1. 静电势的泊松方程
在静电学或静磁学问题中，磁场是不随时间变化的，此时空间中的电势可以由库仑定律轻易地表达为
\begin{equation}
\phi( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = \int \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} '} \frac{\rho(x')}{4\pi \epsilon_0| \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} '|}~.
\end{equation}
这里我们假设 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{x}} ')$ 为空间中的电荷分布（对于点电荷模型，每一个电荷都对应一处无穷小区域无穷大的电荷密度，即 $\delta$-函数），并且我们
常常假定 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{x}} ')$ 是一个连续函数，因此在三维积分的过程中 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} '\rightarrow \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 时的积分是良定义的，不会出现无穷大的发散
1。那么接下来考虑 $\phi( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 所满足的性质。我们有以下重要关系式：
\begin{equation}
\nabla^2 \frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} '|} = \left( \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial{y}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial{z}^{2}} \right) \frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} '|}= -4\pi\delta^3( \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} ')~.
\end{equation}
这一关系式的物理意义就是，空间中一个 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} '$ 处 $+q$ 的点电荷会在 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 处造成 $1/(4\pi\epsilon | \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} '|)$ 的电势，$\nabla^2$ 被称为拉普拉斯算子。因此当我们将拉普拉斯算子作用于
式 1 ，将会得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
\nabla^2\phi( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) &= \int \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} '} \frac{\rho(x')}{4\pi \epsilon_0} \nabla^2 \frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} '|} \\
&= \int \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} '} \frac{\rho(x')}{4\pi \epsilon_0} ( -4\pi\delta^3( \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} '))\\
&= -\frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{x}} )}{\epsilon_0}~.
\end{aligned}
\end{equation}
2. 从麦克斯韦方程组到泊松方程
真空中泊松方程
利用真空中的麦克斯韦方程组，电场满足以下的方程
\begin{equation}
\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} =\frac{\rho}{\epsilon_0},\ \nabla\times \boldsymbol{\mathbf{E}} =0~.
\end{equation}
由于 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 无旋，它一定可以表示为一个静电势的梯度 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} =-\nabla \phi$。代入第一个方程，就可以得到
泊松方程
\begin{equation}
\nabla^2\phi=-\rho/\epsilon_0~.
\end{equation}
如果考虑的区域电荷密度 $\rho$ 恒等于 $0$，那么静电势满足拉普拉斯方程：
\begin{equation}
\nabla^2\phi=0~.
\end{equation}
均匀介质中的泊松方程
我们首先考虑均匀、各向同性的线性电介质中的静电问题。设其电容率为 $\epsilon$（即相对介电常数 $\epsilon_r$ 乘以 $\epsilon_0$）。根据介质中的麦克斯韦方程组，电场与电极化强度需要满足以下方程：
\begin{align}
&\nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{D}} = \rho,\ \ \nabla \times \boldsymbol{\mathbf{E}} = 0,\\
& \boldsymbol{\mathbf{D}} =\epsilon \boldsymbol{\mathbf{E}} ~.
\end{align}
式中 $\rho$ 表示空间的
自由电荷密度。由于 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 无旋，我们引入
静电势 $\phi$：
\begin{align}
E=-\nabla \phi~.
\end{align}
由此可以得到泊松方程：
\begin{align}
\nabla^2 \phi( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=-\frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{x}} )}{\epsilon} ~.
\end{align}
如果所考虑的区域自由电荷密度 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{x}} )\equiv 0$，那么静电势满足拉普拉斯方程：
\begin{align}
\nabla^2 \phi( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=0~.
\end{align}
1. ^ 注意到，空间中 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 处一个电荷所激发的电场不会对当前位置的电势有贡献。而在此处我们假定了 $\rho$ 是连续函数，因此 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} '\rightarrow \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 时 $\rho/| \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} '|$ 对积分的贡献是趋于 $0$ 的，因此与我们前面的论述不矛盾。