相对论动力学假设

贡献者： JierPeter; addis; int256

预备知识　相对论加速度变换，时空的四维表示

1. 什么是动力学

　　初学牛顿力学时，你也许注意到了，课本将它分为两大部分：运动学和动力学。

　　运动学的研究范畴，基本上是纯数学的，只讨论了什么是位移、速度、加速度等概念，以及这些概念之间的数学联系。在运动学中有一个看起来很自然的假设，在了解相对论之前常常被忽略，那就是在不同参考系中这些概念和它们的联系是如何变化的。

　　动力学的研究范畴，则加上了 “力” 的概念，讨论力是如何影响物体的运动状态、力有什么性质等的。在牛顿力学中，力的性质由牛顿三定律决定，由此可以引申出更深刻的动量守恒和能量守恒等定律。

　　在狭义相对论中，参考系的变换导致的运动学变换复杂了很多，力的作用也不再像牛顿力学中那样简单。

2. 常见误解的辟谣

　　一个常见的误导是，许多科普读物和视频会使用光子钟等模型来 “推导” 出爱因斯坦的明星方程， $E = m c^{2}$ ，或者用我们约定的单位制（自然单位制）， $E = m$ 。这些推导的思路是用牛顿第二定律 $F = m d v / d t$ 来定义 “力”，然后利用洛伦兹变换计算在不同惯性系中，物体加速度的变化。当然，在使用伽利略变换的牛顿力学中，任何惯性系下物体的加速度都一样，因此质量是不会变化的；但是在狭义相对论中，由于不同惯性系下加速度一般是不同的，加之相对性原理要求力是不随参考系而变化的¹，因此套入牛顿第二定律以后，必须认为质量是可以变化的。这种思路所计算出的质点质量变化，就是 $m / \sqrt{1 - β^{2}}$ ，其中 $β$ 是质点在观察者眼中的运动速度（以光速为单位，实际速度 $v = β c$ ）。这个质量，就是所谓的 “动质量”。以 $β^{2}$ 为自变量，对 $m / \sqrt{1 - β^{2}}$ 进行 Maclaulin 展开（即 $β_{0}^{2} = 0$ 处的泰勒展开），我们可以得到

\begin{matrix} (1) & \frac{m}{\sqrt{1 - β^{2}}} = m + \frac{1}{2} m β^{2} + \frac{3}{8} m β^{4} + \frac{5}{16} m β^{6} + \frac{35}{128} m β^{8} \dots \end{matrix}

其中第二项就是牛顿力学中的动能。在

β

远远小于光速

1

的时候，我们可以只看前两项，也就是

m + m β^{2} / 2

，或者为了更明显地表现量纲，我们把光速添加回去：

m c^{2} + m v^{2} / 2

。这看上去像是物体的动能加上某种能量。把

m c^{2}

看成是物体固有的一种能量，那么式 1 就变成了

\begin{matrix} (2) & \frac{m c^{2}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} = m c^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{3}{8 c^{2}} m v^{4} + \dots = 固有能量 + 动能 . \end{matrix}

把质点的固有能量 + 动能理解为质点含有的总能量，记为

E

，那么就有

\begin{matrix} (3) & \frac{m c^{2}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} = E, \end{matrix}

这就是著名的质能方程。

　　 但是，这种推导思路是误导的。

　　从相对论加速度变换文章中可以看到，在质点加速度方向垂直和平行于速度方向时，加速度的变化系数是不一样的，这就导致在沿用牛顿第二定律来计算质量的时候，会出现质量随着方向变化的情况。旧版教科书会认为，这意味着不应该把质量简单地看成一个标量，而应该看成一个二阶张量。但现代早已抛弃了 “质量随方向变化” 的概念，甚至也不再强调 “动质量” 的概念。

　　本节将会解释现代的相对论动力学概念。

3. 四动量

　　仍采用自然单位制， $v$ 以光素为单位，实际速度是 $v c$ 。设质点静止时的质量是 $m$ 。在参考系 $K_{1}$ 中，质点的四速度是 $U$ ，定义 $P = m U$ 为质点的四动量（4-momentum）。

　　具体地，如果在 $K_{1}$ 中，质点的速度是 $(v_{x}, v_{y}, v_{z})^{T}$ ，那么其四速度就是 $γ (1, v_{x}, v_{y}, v_{z})^{T}$ ，其中 $γ = 1 / \sqrt{1 - v^{2}}$ 。这样，质点的四动量就表示为（这里仍采用自然单位制）

\begin{matrix} (4) & \frac{m}{\sqrt{1 - v^{2}}} (\begin{matrix} 1 \\ v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{matrix}) . \end{matrix}

　　特别地，四动量的第一个分量又被称为能量，后三个分量称为（三）动量。

　　牛顿第二定律可以看作是牛顿力学中 “力” 的定义，即 “力是动量随时间的变化率”。我们把这一概念引申到狭义相对论中，可以得到 “闵可夫斯基力” 的定义：

定义 1　闵可夫斯基力

　　物质的四动量随固有时间的变化率，称为闵可夫斯基力（Minkowski force），记为 $K^{μ} = d P^{μ} / d τ$ 。

　　值得一提的是，牛顿对牛顿第二定律的表述也为 $F = d p / d t$ ，而非 $F = m a$ 。

4. 动力学假设

　　在牛顿力学中，动量守恒和能量守恒是三定律的推论。在实验中，这两个守恒定律在很高的精度上一直成立。你可以认为推论的成立是对牛顿定律的证明，也可以换个角度，认为守恒定律才是更基本的规律。

　　狭义相对论中，加速度的变换复杂多了，因此更难以猜想应该怎么拓展牛顿定律。由于牛顿定律是有效的，我们相信它在限定范围内，也就是宏观低速的情况下是正确的，这也意味着，狭义相对论成立的必要条件之一，是当光速取为无穷大的时候，整个狭义相对论理论就变成了牛顿理论。现在的问题是，该从什么方向拓展牛顿定律呢？

　　最简洁的可能性，是四动量守恒。也就是说，在任何惯性系看来，一个孤立系统中的若干质点相互作用前后，系统的总四动量守恒。这就是相对论的动力学假设，描述了相互作用的规律，作为牛顿定律的拓展。

　　需要强调的是，这仅仅是一个假设，无法由别的定律推导出来。也就是说，这个动力学假设是一个公理，和牛顿第二第三定律的地位一样。如果这个公理所得出的理论和实际相差太大，那么理论物理学家会选择抛弃它，改用别的假设。幸运的是，迄今为止，四动量守恒和实验很好地相符，因此沿用至今。