贡献者： JierPeter; addis
1. 一般情况下的加速度变换
问题的限制条件
为了简化讨论，不失一般性，我们可以把情景按以下方式设定：
假设 $K_2$ 相对 $K_1$ 的运动速度是 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} =\left(\begin{matrix}v\\0\\0\end{matrix} \right) $。设在 $K_1$ 中，有一质点以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} =\left(\begin{matrix}u_x\\u_y\\u_z\end{matrix} \right)$ 运动，其在 $K_2$ 中的速度是 $ \boldsymbol{\mathbf{u'}} =\left(\begin{matrix}u_x'\\u_y'\\u_z'\end{matrix} \right) $。同时，质点在 $K_1$ 中有加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} =\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{u}} =\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\end{matrix} \right)$，在 $K_2$ 中加速度则为 $ \boldsymbol{\mathbf{a'}} =\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t'} } \boldsymbol{\mathbf{u'}} =\left(\begin{matrix}a_x'\\a_y'\\a_z'\end{matrix} \right)$。选取两坐标系的原点位置使它们重合、在质点轨迹上，并且设质点一直以匀速运动，直到在 $K_1$ 中测量的时间 $t$ 时才有了非零加速度。
计算的整体思路是，将 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t'} } \boldsymbol{\mathbf{u'}} $ 拆成 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{u'}} \cdot\frac{ \,\mathrm{d}{t} }{ \,\mathrm{d}{t'} }$，分别计算两个微商，然后再乘起来。一阶微分的形式不变性保证了这个思路的合法性。
注意，这里并不能简单地令 $t'=\sqrt{1-v^2}t$，因为质点的位置并不总是在 $K_2$ 的原点处，我们需要选所讨论位置的 $t'$。
于是有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{u'}} =\frac{\sqrt{1-v^2}-\frac{1-\sqrt{1-v^2}}{v^2}( \boldsymbol{\mathbf{u}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} }{1- \boldsymbol{\mathbf{u}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} }~,
\end{equation}
\begin{equation}
t'=\frac{t-vu_xt}{\sqrt{1-v^2}}~.
\end{equation}
从式 2 可得，
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{t} }{ \,\mathrm{d}{t} '}=\frac{1}{ \,\mathrm{d}{t} '/ \,\mathrm{d}{t} }=\frac{\sqrt{1-v^2}}{1-u_xv}~.
\end{equation}
习题 1
已知对于向量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 有恒等式：$ \boldsymbol{\mathbf{C}} \times( \boldsymbol{\mathbf{A}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} )=( \boldsymbol{\mathbf{C}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{A}} -( \boldsymbol{\mathbf{C}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \boldsymbol{\mathbf{B}} $，结合式 1 ，请证明：
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{u'}} =\frac{1-v^2}{(1- \boldsymbol{\mathbf{u}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} )^2}[ \boldsymbol{\mathbf{a}} -\frac{1}{\sqrt{1-v^2}+1-v^2}( \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{v}} )\times \boldsymbol{\mathbf{v}} +\sqrt{1-v^2}( \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{u}} )\times \boldsymbol{\mathbf{v}} ]~.
\end{equation}
将式 3 和式 4 相乘，即得到
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a'}} =\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{u'}} \cdot\frac{ \,\mathrm{d}{t} }{ \,\mathrm{d}{t} '}=\frac{(1-v^2)^{3/2}}{(1- \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol{\mathbf{v}} )^3}[ \boldsymbol{\mathbf{a}} -\frac{1}{\sqrt{1-v^2}+1-v^2}( \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{v}} )\times \boldsymbol{\mathbf{v}} +\sqrt{1-v^2}( \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{u}} )\times \boldsymbol{\mathbf{v}} ]~.
\end{equation}
同样地，由于在 $K_2$ 眼中，质点以 $ \boldsymbol{\mathbf{u'}} $ 运动且 $K_1$ 以 $- \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 运动，因此可以得到逆变换：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} =\frac{(1-v^2)^{3/2}}{(1+ \boldsymbol{\mathbf{u'}} \boldsymbol{\mathbf{v}} )^3}[ \boldsymbol{\mathbf{a'}} -\frac{1}{\sqrt{1-v^2}+1-v^2}( \boldsymbol{\mathbf{a'}} \times \boldsymbol{\mathbf{v}} )\times \boldsymbol{\mathbf{v}} -\sqrt{1-v^2}( \boldsymbol{\mathbf{a'}} \times \boldsymbol{\mathbf{u'}} )\times \boldsymbol{\mathbf{v}} ]~.
\end{equation}
2. 瞬时自身系中的变换
对于运动的质点，和质点一直相对静止的参考系称为质点的自身系。如果质点在惯性系中有非零加速度，那么自身系就不是惯性系，不在狭义相对论的讨论范围内。但是，对于质点轨迹上的给定点，我们可以取质点在这里的速度，然后选择一个在这一瞬间和质点相对静止的惯性系。这样在某一点处和质点相对静止的参考系，称为质点的瞬时自身系。
在本节讨论中，如果设 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} $，即 $ \boldsymbol{\mathbf{u'}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，那么在加速度出现时，$K_2$ 就是质点在这一事件位置的瞬时自身系。质点在瞬时自身系中的加速度是 $ \boldsymbol{\mathbf{a'}} $，那么由式 6 ，其在 $K_1$ 中的加速度是
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} =(1-v^2)^{3/2}[ \boldsymbol{\mathbf{a'}} -\frac{1}{\sqrt{1-v^2}+1-v^2}( \boldsymbol{\mathbf{a'}} \times \boldsymbol{\mathbf{v}} )\times \boldsymbol{\mathbf{v}} ]~.
\end{equation}
如果 $ \boldsymbol{\mathbf{a'}} \parallel \boldsymbol{\mathbf{v}} $，则有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} =(1-v^2)^{3/2} \boldsymbol{\mathbf{a'}} ~.
\end{equation}
因此 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} \parallel \boldsymbol{\mathbf{v}} $。
如果 $ \boldsymbol{\mathbf{a'}} \perp \boldsymbol{\mathbf{v}} $，则有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} =(1-v^2) \boldsymbol{\mathbf{a'}} ~,
\end{equation}
因此 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} \perp \boldsymbol{\mathbf{v}} $。