时空的四维表示

                     

贡献者： JierPeter; addis; _Eden_

预备知识　斜坐标表示洛伦兹变换，坐标变换与过渡矩阵

　　 约定使用自然单位制，$c=1$。

1. 概念

四位置和四位移

　　 把时间坐标和空间坐标都看成时空的坐标，那么一个事件在时空中的位置就被称为其四位置（4-position）。四位置本身是一个向量，但其坐标表示取决于所选取的惯性参考系。同一个四位置在不同惯性系中的坐标，可以利用洛伦兹矩阵作为过渡矩阵来相互转化。

　　 两个事件之间的四位置之差，称为这两个事件之间的四位移（4-displacement）。

四速度

　　 假设某质点在三维空间中运动。经典物理中认为，质点轨迹上某一点的速度是一个向量，其方向与该点处轨迹相切。但速度的大小具体是多少，三维轨迹完全没有提供足够的信息。同样的轨迹完全可以是用不同的瞬时速度来走过的。

　　 为了完全从几何角度描述该质点的速度，我们可以把视角提高到四维时空，将三维的轨迹拉升到四维，这样就有充足的信息来描述质点的速度大小了，而三维轨迹就是四维轨迹在三维空间中的投影。取四维轨迹上某一点的切向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，使其在时间轴上的投影为 $1$（单位时间长度），那么 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在三维空间中的投影就是速度。

　　 这个例子启发我们研究四维速度比研究三维速度更加全面，由此有了以下概念：

定义 1　四速度

　　 一个质点的四速度（4-velocity），定义为质点的四维运动轨迹的切向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，满足 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在瞬时自身系中的时间轴投影长度是 $1$。

　　 四速度的概念可以应用在经典力学中，也可以应用于相对论。

　　 相对论框架下，在某惯性参考系里的观察者看来，一个质点的四速度的时间分量，就是这个质点系所处的参考系的 “时间流逝速度”，即质点的手表和观察者的手表的转动速度之比1。如果质点相对观察者静止，那么质点的四速度就是 $(1,0,0,0)$，即非零分量只有时间分量，且时间流逝速度为 $1$。

　　 如果在经典力学框架下讨论四速度，那么其时间分量就永远是 $1$，这其实意味着经典情况下不存在钟慢效应。

四加速度

定义 2　四加速度

　　 一个质点的四加速度（4-acceleration），定义为质点的四速度对固有时间（瞬时自身系中的时间）求导的结果。

2. 四位移、四速度与四加速度的性质

四位移的不变性

习题 1　

　　 设有惯性参考系 $K_1$，另一惯性系 $K_2$ 以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \begin{pmatrix}v, 0, 0\end{pmatrix} ^T$ 相对 $K_1$ 运动。请通过计算证明：对于两个事件 $A$ 和 $B$ 而言，它们在两个参考系中的四位移都是一样的。

四速度的表达

　　 设有惯性参考系 $K_1$，一个质点在 $K_1$ 中某点的速度是 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} = \begin{pmatrix}u, 0, 0\end{pmatrix} ^T$，那么它在 $K_1$ 的四速度 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 的方向和 $ \begin{pmatrix}1, u, 0, 0\end{pmatrix} ^T$ 一致2，设 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} =k\cdot \begin{pmatrix}1, u, 0, 0\end{pmatrix} ^T$。则由于 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 对应瞬时自身系 $K_2$ 中单位时间的长度，再考虑到 $K_2$ 的坐标轴在 $K_1$ 中的表示具有拉伸比例$\sqrt{(1+u^2)}/\sqrt{(1-u^2)}$，知 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 在 $K_1$ 中的长度为 $\sqrt{(1+u^2)}/\sqrt{(1-u^2)}$，其在时间轴上的投影就是 $1/\sqrt{(1-u^2)}=\gamma$。

　　 因此，速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} = \begin{pmatrix}u, 0, 0\end{pmatrix} ^T$ 的质点，其四速度是 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} =\gamma \begin{pmatrix}1, u, 0, 0\end{pmatrix} ^T= \begin{pmatrix}\gamma, \gamma u, 0, 0\end{pmatrix} ^T= \begin{pmatrix}1/\sqrt{1-u^2}, u/\sqrt{1-u^2}, 0, 0\end{pmatrix} ^T$。

　　 给定四速度 $ \begin{pmatrix}1/\sqrt{1-u^2}, u/\sqrt{1-u^2}, 0, 0\end{pmatrix} ^T$。更换一个参考系，其洛伦兹变换矩阵为

\begin{equation} L= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}&\frac{-v}{\sqrt{1-v^2}}&0&0\\ \frac{-v}{\sqrt{1-v^2}}&\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} ~, \end{equation}
即新的观察者在 $K_1$ 中的速度平行于 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} $。

　　 那么由相对论速度变换，变换后的速度为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{u}} ' = \begin{pmatrix}\frac{u-v}{1-uv}, 0, 0\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} ~, \end{equation}
其四速度为
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{U}} ' &= \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{1- \left(\frac{u-v}{1-uv} \right) ^2}}, \frac{\frac{u-v}{1-uv}}{\sqrt{1- \left(\frac{u-v}{1-uv} \right) ^2}}, 0, 0\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}&\frac{-v}{\sqrt{1-v^2}}&0&0\\ \frac{-v}{\sqrt{1-v^2}}&\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\\\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\\0\\0\end{pmatrix} \\ &=L \boldsymbol{\mathbf{U}} '~, \end{aligned} \end{equation}
所以此时四速度变换的矩阵也是洛伦兹矩阵。

习题 2　

　　 验证：对于任意给定的四速度 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 和任意洛伦兹变换，四速度的坐标变换矩阵仍然是洛伦兹矩阵。

四加速度

　　 题设同 “四加速度的表达”，设质点在某点的四加速度是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{U}} } / \,\mathrm{d}{\tau} $，其中 $\tau$ 是质点的瞬时自身系 $K_2$ 中的固有时。记 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} =(t, \boldsymbol{\mathbf{u}} )$，$\frac{ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{u}} } }{ \,\mathrm{d}{t} }= \boldsymbol{\mathbf{a}} $。由于在 $K_1$ 中 $ \,\mathrm{d}{t} / \,\mathrm{d}{\tau} =1/\sqrt{1-u^2}=\gamma$，再考虑到分部积分和 $ \,\mathrm{d}{\gamma} / \,\mathrm{d}{t} = \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} /\gamma^3$，可以得：

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{A}} &=\frac{ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{U}} } }{ \,\mathrm{d}{\tau} }\\&=\frac{ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{U}} } }{ \,\mathrm{d}{t} }\cdot\frac{ \,\mathrm{d}{t} }{ \,\mathrm{d}{\tau} }\\&=(\gamma^4 \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} , \gamma^2 \boldsymbol{\mathbf{a}} +\gamma^4( \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} ) \boldsymbol{\mathbf{u}} )\\&=(\gamma^4 \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} , \gamma^4( \boldsymbol{\mathbf{a}} +( \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{u}} )\times \boldsymbol{\mathbf{u}} )~. \end{aligned} \end{equation}

3. 世界线

　　 我们知道，一个事件被看作是四维时空中的一个点，它有给定的时间和空间坐标。如果我们考虑一个粒子的运动，其在时空中的轨迹就是一条曲线。这条曲线就被称为粒子的世界线（world line）（世界线和固有时）。

1. ^ 由于我们采用 $c=1$ 的约定，速度是一个无量纲量。
2. ^ 也就是和瞬时自身系 $K_2$ 的时间轴重合。

                     

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