贡献者： _Eden_
约定使用东海岸度规 $\eta_{\mu\nu}=\rm{diag}(-1,1,1,1)$ 和自然单位制 $c=1$。本文对于重复出现在上指标和下指标的希腊字母 $\mu,\nu,\rho,\sigma$ 等采用爱因斯坦求和约定，例如
\begin{equation}
A_\mu B^{\mu\nu}:= \sum_{\mu=0,1,2,3}A_\mu B^{\mu\nu} ~.
\end{equation}
1. 协变矢量变换法则
四矢量 $A^\mu=(A^0,A^1,A^2,A^3)$ 被称为协变矢量，当且仅当它满足一下的相对论变换法则
\begin{equation}
A^\mu\rightarrow {A'}^\mu = \Lambda^{\mu}{}_\nu A^\nu~.
\end{equation}
其中 $\Lambda^\mu{}_\nu$ 为洛伦兹变换矩阵，它满足
1
\begin{equation}
\Lambda^{\mu}{}_{\rho} \Lambda^{\nu}{}_{\sigma} \eta_{\mu\nu} = \eta_{\rho\sigma}~.
\end{equation}
常见的协变矢量有时空坐标四矢量
\begin{equation}
x^\mu = (x^0,x^1,x^2,x^3) = (t, \boldsymbol{\mathbf{x}} )~.
\end{equation}
协变矢量的特征是有一个上指标，一般用希腊字母 $\mu,\nu,\rho,\sigma$ 等表示。变换公式 $A^\mu\rightarrow \Lambda^{\mu}{}_\nu A^\nu$ 描述了协变矢量在洛伦兹变换下的行为。
2. 逆变矢量变换法则
如果将矩阵 $\eta_{\mu\nu}$ 与 $x^\nu$ 相乘，对所有指标 $\nu=0,1,2,3$ 求和，得到的 $x_\mu =\eta_{\mu\nu} x^\nu = x^\nu\eta_{\nu\mu}$ 就被称为是逆变矢量。对所有指标 $\nu=0,1,2,3$ 进行求和的过程叫做 “缩并”，这里采用了爱因斯坦求和约定。
逆变矢量的性质 1
引理 1
协变矢量与逆变矢量的缩并 $A^\mu B_\mu=A_\mu B^\mu$ 是一个洛伦兹不变的量，也被称为洛伦兹标量。
证明：$A^\mu B_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\mu B^\nu=A_\nu B^\nu$，在洛伦兹变换下
\begin{equation}
\begin{aligned}
&A^\mu B_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\mu B^\nu ~,\\
\rightarrow &{A'}^\mu {B'}_\mu =\eta_{\mu\nu}{A'}^\mu {B'}^\nu = \eta_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}{}_\rho\Lambda^\nu{}_\sigma A^\rho B^\sigma~,\\
&=\eta_{\rho\sigma}A^\rho B^\sigma = A^\rho B_\rho
\end{aligned}
\end{equation}
最后一行利用了
式 3 ，最终我们发现 ${A'}^\mu {B'}_\mu = A^\mu B_\mu $，这也就意味着 $A^\mu B_\mu$ 是一个洛伦兹不变的量。
引理 2
根据逆变矢量的定义公式 $A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu$，再定义一个矩阵 $\eta^{\rho\sigma}$，满足 $A^\mu = \eta^{\mu\nu} A_\nu$。那么 $\eta^{\mu\nu}$ 是 $\eta_{\mu\nu}$ 的逆矩阵：
\begin{equation}
\eta^{\mu\nu}\eta_{\nu\rho}=\delta^{\mu}_\rho~.
\end{equation}
在度规 $\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)$ 的情况下，逆矩阵很容易求得是 $\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)$。
逆变矢量的性质 2
引理 3
逆变矢量 $A_\mu$ 在洛伦兹变换下的行为是
\begin{equation}
A_\mu \rightarrow A'_\mu = \Lambda_{\mu}{}^\nu A_\nu\equiv\eta_{\mu\rho}\Lambda^{\rho}{}_\sigma \eta^{\sigma\nu} A_\nu~.
\end{equation}
其中 $\Lambda_{\mu}{}^\nu$ 被定义为 $\Lambda_\mu{}^\nu \equiv \eta_{\mu\rho}\Lambda^{\rho}{}_\sigma \eta^{\sigma\nu} $。且满足：
\begin{equation}
\Lambda_\mu{}^\nu \cdot \Lambda{}^\mu{}_\lambda = \delta^\nu_\lambda,\quad \Lambda^\mu{}_\nu\cdot \Lambda_\lambda{}^\nu =\delta^\mu_\lambda
~.
\end{equation}
证明：$\Lambda_\mu{}^\nu \cdot \Lambda{}^\mu{}_\lambda =\eta_{\mu\rho}\Lambda^{\rho}{}_\sigma \eta^{\sigma\nu} \Lambda{}^\mu{}_\lambda $，利用式 3 和式 6 ，可以得到
\begin{equation}
\Lambda_\mu{}^\nu \cdot \Lambda{}^\mu{}_\lambda =\eta_{\mu\rho}\Lambda^{\rho}{}_\sigma \eta^{\sigma\nu} \Lambda{}^\mu{}_\lambda=\eta_{\lambda\sigma} \eta^{\sigma\nu}= \delta_\lambda^\nu~.
\end{equation}
这表明了 $[\Lambda_\mu{}^\nu]^T = [\Lambda^\mu{}_\nu]^{-1}$，所以交换两个矩阵它们的乘积仍然是单位矩阵 $\Lambda^\mu{}_\nu \cdot \Lambda_\lambda{}^\nu = \delta_\lambda^\mu$。
1. ^ 具体的推导见狭义相对论与洛伦兹对称性。