自然单位制、普朗克单位制

贡献者： addis

预备知识 1　原子单位制

　　¹在高能物理和场论中，我们往往使用一套无量纲单位制，使得普朗克常数 $\hbar = 1$ 真空光速 $c = 1$，万有引力常数 $G = 1$ 以及玻尔兹曼常数 $k_B = 1$。这个单位制也称为普朗克单位制（Plank units）。下面我们来进行说明，首先给出和国际单位制之间的转换常数：

表1：自然单位制的换常数，括号表示最后两位的误差，不带括号的是精确值。参考 “物理学常数”。

物理量	转换常数 $\beta$	数值（国际单位）
长度 $x$	$\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}}$	$1.616255(18) \times 10^{-35} $
质量 $m$	$\sqrt{\dfrac{\hbar c}{G}}$	$2.176434(24) \times 10^{-8} $
时间 $t$	$\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^5}}$	$5.391247(60) \times 10^{-44} $
速度 $v$	$c$	$299792458$
力 $F$	$\dfrac{c^4}{G}$	$1.210256(27) \times 10^{44} $
能量 $E$	$\sqrt{\dfrac{c^5\hbar}{G}}$	$1.956082(22) \times 10^{9} $
角动量 $L$	$\hbar$	$1.054571817646156\ldots \times 10^{-34} $
电荷 $q$	$2\sqrt{\pi\epsilon_0 c\hbar}$	$1.87554603778(14) \times 10^{-18} $
电场 $\mathcal E$	$\dfrac{1}{2G}\sqrt{\dfrac{c^7}{\pi\epsilon_0 \hbar}}$	$6.4528172(14) \times 10^{61} $
磁感应强度 $B$	$\dfrac{1}{2G}\sqrt{\dfrac{c^5}{\pi\epsilon_0 \hbar}}$	$2.15242811(48) \times 10^{53} $
温度 $T$	$\dfrac{1}{k_B}\sqrt{\dfrac{c^5\hbar}{G}}$	$1.41678443(16) \times 10^{32} $

1. 推导

　　我们先来确定三个基本转换常数 $\beta_x, \beta_m, \beta_t$。在 “原子单位制” 的一开始，为了使 $\beta_L = \hbar$（也就是所谓的 “令 $\hbar = 1$”），我们得到（式 2 ）

\begin{equation} \beta_t = \frac{\beta_m \beta_x^2}{\hbar}~. \end{equation}

　　现在为了让 $c = 1$，即规定速度的转换常数为光速 $\beta_v = c$。如果我们希望满足 $x = vt$，那么必须有

\begin{equation} \beta_x = \beta_v \beta _t = c\beta_t~, \end{equation}

至此 $\beta_x, \beta_m, \beta_t$ 中只剩一个自由度。

　　为了确定力的量纲，令牛顿定律形式不变 $F = ma$，则

\begin{equation} \beta_F = \frac{\beta_m \beta_x}{\beta_t^2}~. \end{equation}

再令万有引力公式为（“令引力常数 $G = 1$”，见例 2 ）

\begin{equation} F = \frac{m_1 m_2}{r^2}~, \end{equation}

则有

\begin{equation} \beta_x^3 = G \beta_m \beta_t^2~. \end{equation}

联立式 1 ，式 2 和式 5 就可以求出 $\beta_x, \beta_m, \beta_t$（表 1 ）。另外也顺便定义了 $\beta_F$。

2. 另一种思路

　　严格来说，普朗克单位制中所有转换常数都使用 $c, G, \hbar, k_B$ 来定义。例如普朗克长度（Plank length）为

\begin{equation} \beta_x = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}~. \end{equation}

这是 $\hbar, G, c$ 使用幂的乘积拼凑出长度量纲的唯一组合：令 $\beta_x = \hbar^a G^b c^c k_B^d$ 即可解出 $a = b = 1/2$，$c = -3/2$，$d = 0$。其他的物理量的转换常数也同理可得。

3. 电磁常数

预备知识 2　洛伦兹力

　　普朗克单位制并不规定电磁学常数，但为了方便我们可以创造一套。令以下公式成立（$\epsilon_0 = 1/(4\pi), \mu_0 = 4\pi$）

\begin{align} &F = \frac{q_1q_2}{r^2} \qquad (\text{库仑定律})~,\\ & \boldsymbol{\mathbf{F}} = q( \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \qquad (\text{广义洛伦兹力})~. \end{align}

4. 热学

　　国际单位中温度的定义可以根据理想气体中分子的平均动能。而自然单位中，令（$k_B = 1$）

\begin{equation} \bar E_k = \frac{3}{2} T~, \end{equation}

得

\begin{equation} \beta_T = \beta_E/k_B~. \end{equation}

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面以及普朗克单位制。