闵可夫斯基时空中的能动张量

                     

贡献者： JierPeter

预备知识　动力学假设，张量

1. 均匀等速尘埃云的动量通量

均匀等速尘埃云

　　 在任意参考系中，空间中分布若干质点。这些质点的集合，被称为一片尘埃云（dust），各质点被称为尘埃粒子。如果在某个参考系中，一片尘埃云的各质点都保持静止，那么我们称这个参考系是尘埃云的自身系，称尘埃云为等速尘埃云，因为这意味着在其它参考系中，尘埃粒子的速度都会是相同的。如果在某个参考系中，尘埃粒子的质量相同、在空间中均匀分布，那么我们称这片尘埃云是均匀的。

　　 任何一片均匀尘埃云，都可以看成是许多均匀等速尘埃云的叠加，只要把属于各个速度的尘埃粒子分别拿出来构成尘埃云即可。而任何一片尘埃云，也可以看成是局部均匀的。因此，研究均匀等速尘埃云的性质最为容易，也可以方便地拓展到任意尘埃云的性质中。

尘埃云数量通量密度

　　 假设空间中有一片均匀等速尘埃云，在其自身系中各点的粒子数量密度都是 $n$，其中 $n$ 是一个实数。也就是说，在尘埃云的自身系中，在任何体积 $V$ 中，尘埃粒子的数量都是 $nV$。

　　 取 $K_1$ 参考系作为观察者，设观察者认为尘埃云的速度是 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} =(v_x, v_y, v_z)^T$。由于尺缩效应，在 $K_1$ 中，空间各点尘埃粒子的数量密度变为 $n/\sqrt{1-v^2}$。

图
图 1：粒子数量通量示意图。绿色面表示计算粒子数量通量的参考平面 $A_{yz}$；一个粒子在单位时间后通过这个平面，当且仅当这个粒子现在正在图示体积内。该体积的四条红色边和尘埃云的速度方向平行，而左右两个平面之间的距离是 $v_x$，故体积为 $A_{yz}\cdot v_x$。

　　 固定 $x$ 坐标，取此处 $y-z$ 平面上的一个单位面积 $A_{yz}$。如所示，在单位时间内，通过 $A_{yz}$ 的是体积 $A_{yz}\cdot v_x=v_x$ 内的粒子，数量是

\begin{equation} \frac{n}{\sqrt{1-v^2}}\cdot v_x=\frac{nv_x}{\sqrt{1-v^2}}~. \end{equation}

　　 类似地，用 $i, j, k$ 代表任意的字母 $x, y, z$，那么对于固定的 $i$ 坐标，单位时间内通过 $j-k$ 平面上的单位面积的粒子数量是 $nv_i/\sqrt{1-v^2}$。通过一个平面的尘埃粒子数量，称为尘埃云通过这个平面的数量通量；而当所通过平面的面积是单位面积时，数量通量也可以称为数量密度的通量，或者数量通量的密度。

　　 总结下来，如果取所考察平面的面积向量为 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $，那么对于上述均匀等速尘埃云，单位时间内通过这个平面的粒子数量是 $\frac{n}{\sqrt{1-v^2}} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{S}} \right\rvert $。

尘埃云动量通量密度

　　 尘埃云设定同上，并假设每个尘埃云粒子的质量是 $m$，那么它在 $K_1$ 中的动量是 $m/\sqrt{1-v^2}$。结合数量通量密度可知，在单位时间内通过面积 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 的尘埃云动量是

\begin{equation} \frac{n}{\sqrt{1-v^2}} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{S}} \right\rvert \cdot\frac{m}{\sqrt{1-v^2}} \boldsymbol{\mathbf{v}} =\frac{nm \boldsymbol{\mathbf{v}} }{1-v^2} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{S}} \right\rvert =\frac{nm}{1-v^2} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{S}} \right\rvert \cdot \begin{pmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{pmatrix} ~. \end{equation}

　　 固定 $x$ 坐标时，单位时间内通过单位面积的尘埃云动量的 $y$ 分量就是

\begin{equation} \frac{nm}{1-v^2}v_xv_y~. \end{equation}

　　 一般地，固定 $i$ 坐标时，单位时间内通过单位面积的尘埃云动量的 $j$ 分量就是

\begin{equation} \frac{nm}{1-v^2}v_iv_j~. \end{equation}

2. 四动量通量密度和能量-动量张量

　　 上面所讨论的动量通量密度，在四维闵可夫斯基空间中可以表示为穿过单位时间、单位 $A_{yz}$ 面积的三维 “平面”1的世界线数量乘以各世界线代表的动量。

　　 图 2 是四维闵可夫斯基空间中的动量通量示意图，绿色的垂直线段表示单位时间长度里的单位面积 $A_{yz}$，相当于用一维线段表示了一个三维的体积；若干红色线段表示各尘埃粒子的世界线。动量通量密度，就是通过单位时间单位面积的世界线数量乘以各粒子的动量2。

图
图 2：四维闵可夫斯基空间中的动量通量

　　 既然都用到四维表示了，我们也可以把结论拓展到四动量，以及固定时间的情况。

图
图 3：固定时间时，穿过单位三维空间超平面的世界线示意图。

　　 如果设各尘埃粒子的四速度是 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} =1/\sqrt{1-v^2}(1, v_x, v_y, v_z)^T$，可以定义一个矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $，其第 $i$ 行 $j$ 列的元素代表 “固定 $i$ 坐标时，单位时间内通过单位面积的尘埃云动量的 $j$ 分量”，那么就有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{M}} =\frac{nm}{1-v^2} \begin{pmatrix}1&v_x&v_y&v_z\\v_x&v_x^2&v_xv_y&v_xv_z\\v_y&v_xv_y&v_y^2&v_yv_z\\v_z&v_xv_z&v_yv_z&v_z^2\end{pmatrix} =nm\cdot \boldsymbol{\mathbf{U}} \boldsymbol{\mathbf{U}} ^T~. \end{equation}

　　 这里的 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 是一个列矩阵，也就是说，$ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 是向量 $n \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 和 $m \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 的张量积。$ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 因而是一个二阶张量，被称作能量-动量张量。

3. 一般尘埃云的能动张量

　　 均匀等速尘埃云是一种高度理想化的流体模型，现实中并不会存在。这个模型，如果在每个点处的质心系中观察，那么所有物质都是绝对静止的；现实中的流体模型，哪怕在每一个点处的质心系来观察，物质仍然有非零的速度分布。事实上，宏观情况下我们对流体的能动张量释义会有一些不同。

　　 在时空流形上，固定时间时计算的四动量通量，也就是式 5 中的第一列，恰是流体在这一时刻的四动量空间密度；固定某一空间面时计算的四动量通量，则是单位时间内四动量通过这个面的量。动量随时间的变化率，就是 “力”，这是牛顿第二定律给出的定义。因此，我们推广时换用力的概念来定义能动张量。

　　 由流体力学可知，流体作为一个宏观的统计模型，忽略了流体粒子之间的相互作用，只考虑由大量粒子构成的 “流体元” 之间的宏观相互作用。流体元之间可能有垂直接触面的压力，也可能有因摩擦产生的、平行于接触面的粘滞力。微观来看，两个流体元接触面上，从流体元 $A$ 流向流体元 $B$ 的三动量变化率，就是 $A$ 对 $B$ 的作用力；而牛顿第三定律就体现在，反过来从 $B$ 流向 $A$ 的三动量，一定时刻与之相反。

　　 这就是均匀等速尘埃云所无法描述的现象，因为如果非要认为均匀等速尘埃云是非静止的流体，那么在任何一个面上，最多只会有单向流动的动量，也就是说没有反作用力。因此均匀等速尘埃云最多只能被认为是静止的流体。我们在计算均匀等速尘埃云的四动量通量时，并没有规定流出或流入流体元这两个方向上的动量交换，保留哪一个舍弃哪一个，而是都纳入计算，于是也无法体现出施力物体和受力物体的区别。因此在推广时，我们需要区分清楚流入流出方向，并分开计算。对于一个流体元，计算流入它的四动量通量，所得的是它受到的闵可夫斯基力；而流出它的通量，则是它施加于其它物体的力。

定义 1　

　　 考虑一团实际的流体，对于每个时空点 $p$，取此处流体的局部质心系3，那么流体在该处的四动量通量就由一个嵌套矩阵 $T_{ab}$ 描述，其中各 $T_{ab}$ 是指在该处的一个小流体元在固定 $a$ 坐标的面上受闵可夫斯基力的 $b$ 分量。

　　 为了方便建立广义相对论的基础，我们不考虑太复杂的模型，而是将物质都理解为以下 “没有粘滞力” 的理想流体。

定义 2　理想流体

　　 对于一个流体，如果它在任何时空点处，任何表面上所受的力都是垂直于该表面的，则称此流体为理想流体（ideal fluid）。

　　 这样一来，容易证明理想流体任何一个点上的 $T_{ab}$ 就可以写成：

\begin{equation} T_{ab}= \begin{pmatrix} \begin{pmatrix}\rho&0&0&0\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}0&p&0&0\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}0&0&p&0\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}0&0&0&p\end{pmatrix} \end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} ~. \end{equation}

　　 其中 $\rho$ 是能量在空间中的密度，$p$ 就是流体在该处受到的压强。

　　 但是这个嵌套矩阵只是局部质心系里描述流体受力，我们希望摆脱具体参考系的约束，抽象地在时空流形上讨论受力、能量和动量等概念，因此我们使用已知的摆脱了具体参考系约束的量（也就是张量场）来描述这个嵌套矩阵：

\begin{equation} T_{ab}=\rho U_aU_b+P g_{ab}+P U_aU_b\\~. \end{equation}

　　 其中 $g_{ab}$ 是时空的度量张量场，$U_a$ 是局部质心的四速度的对偶，即 $U_a=U^ig_{ia}$。在局部质心系中，$g_{ab}= \operatorname {diag}(-1, 1, 1, 1)$，而 $U^{a}=(1, 0, 0 ,0) ^{\mathrm{T}} $，因此在局部坐标系中式 6 和式 7 没有冲突，而式 7 则摆脱了坐标系限制。

　　 能动张量能如何描述物质分布的性质呢？

定义 3　能量密度

　　 令 $T_{ab}$ 为一理想流体在时空流形上的能动张量场，$u^a$ 是该流体在各时空点处局部质心系的四速度，则 $T_{ab}u^au^b$ 是该流体在该处的能量密度。

　　 这一定义是合理的。考虑到局部质心系中 $u^a= \begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $，根据理想流体的能动张量的定义，可以计算出 $T_{ab}u^au^b$ 就是能量密度分布，而这是张量场的抽象指标分布，不依赖于参考系的选择，所以是合理的推广表达。

4. 守恒定律

　　 理想流体的能动张量，满足方程

\begin{equation} \partial^aT_{ab}=0~. \end{equation}

　　 式 8 的理解可以类比向量场的散度 $\partial_av^a$。如果向量场 $v^a$ 描述了某种东西的流，比如说流体的质量流，那么 $\partial_av^a$ 就是流体质量的流失速率，在 $\partial_av^a=0$ 的地方自然就有质量密度守恒。

　　 根据指标的升降法则，对于任何张量 $ \boldsymbol{\mathbf{T}} $，我们定义 $\partial^a \boldsymbol{\mathbf{T}} =\eta^{ab}\partial_a \boldsymbol{\mathbf{T}} $，这样子我们就可以把式 8 理解为 $\eta^{ai}\partial_i(T_b)^a$，相当于用余切向量场 $T_b$ 取代了光滑函数 $v$，形式不变，同样表达了某种量的守恒。

　　 什么东西守恒呢？

　　 利用式 7 ，$T_{ab}=\rho u_au_b+P g_{ab}+P u_au_b$，把式 4 展开，我们能得到：

\begin{equation} \begin{aligned} 0=\partial^aT_{ab}=&\partial^a(\rho u_au_b+P g_{ab}+P u_au_b)\\ =&u_au_b\partial^a\rho+\rho u_b\partial^au_a+\rho u_a\partial^au_b+\\ &g_{ab}\partial^ag_{ab}+P\partial^ag_{ab}+\\ &u_au_b\partial^aP+P u_b\partial^au_a+P u_a\partial^au_b~. \end{aligned} \end{equation}

　　 式 9 最右边很长，我们可以把它分成两部分，分别是在度量 $\eta_{ab}$ 下垂直和平行于 $u^b$ 的项。显然，其中的 $u_au_b\partial^a\rho+\rho u_b\partial^au_a+P u_b\partial^au_a$ 是平行于 $u^b$ 的，因为它们都是在 $u_b$ 前面乘以一个光滑函数的形式；我们断言，剩下的部分，是垂直于 $u^b$ 的，即与 $u^b$ 的内积为 $0$。

　　 这是因为，剩下的那部分还可以再分成两部分，一个是 $(P+\rho)u_a\partial^au_b$，一个是 $(\eta_{ab}+u_au_b)\partial^aP$。考虑到 $u^b$ 按定义必须是单位向量，因此 $\partial_au^b$ 必定与 $u^a$ 垂直，即 $u^a\partial_au^b=0$，因此 $u^b(P+\rho)u_a\partial^au_b=0$；再由洛伦兹度规的定义，$u^au_b=1$，因此 $u^b(\eta_{ab}+u_au_b)=u_a-u_a=0$。综上，剩下这部分与 $u^b$ 的乘积就是 $0$4。

　　 将式 9 最右边按上述讨论分成垂直和平行于 $u^b$ 的两部分后，就分别得到了两个独立的等式（适当进行指标升降以获得更直观的表达）：

\begin{equation} u^a\partial_a\rho+(\rho+P)\partial^au_a=0~, \end{equation}
\begin{equation} (P+\rho)u^a\partial_au_b+(\eta_{ab}+u_au_b)\partial^aP=0~. \end{equation}

　　 回归经典极限时，三速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 很小，以至于 $u^\mu= \begin{pmatrix}1, \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{pmatrix} $，而流体之间的压强也远小于密度，那么式 10 和式 11 就分别变成

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\rho+ \boldsymbol{\nabla} \cdot(\rho \boldsymbol{\mathbf{v}} )=0~, \end{equation}
\begin{equation} \rho(\frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{v}} +( \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\nabla} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} )=- \boldsymbol{\nabla} P~. \end{equation}

　　 式 12 意味着任意点处质量密度 $\rho$ 的流失速率等于 $\rho \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的散度，即质量流就是 $\rho \boldsymbol{\mathbf{v}} $，因此是质量守恒的表达式。

　　 式 13 是流体的欧拉方程5。

　　 式 12 和式 13 都是取经典极限进行的讨论，说明了式 8 是经典力学的合理推广。对于一般的情况，$\partial^aT_{ab}=0$ 可以看成是描述了四个分量的守恒定律，即固定 $b$ 指标来考虑，一共有四种固定方法。对于固定的 $b$ 指标，$T_{ab}$ 描述的是流体在 $a$ 面上单位面积受力的 $b$ 分量，因此式 8 描述了流体四动量的 $b$ 分量的守恒律。那么综合来看，该式描述的是四动量的守恒定律，即相对论动力学假设。

1. ^ 多维几何学中，将 $n$ 维空间中的一个 $n-1$ 维子空间称为一个超平面（hypersurface），因此这里的三维平面，指的是四维空间中的三维超平面。
2. ^ 这里有一个视错觉现象，即绿色线段看起来不是垂直的，而是微微倒向左边。
3. ^ 即取包含此时空点 $p$ 的体积，计算体积中质心的轨迹，然后取体积趋于零的极限，所得的极限轨迹就是局部质心。
4. ^ 特别要注意的是 $u^b(\eta_{ab}+u_au_b)$ 这一部分，如果取 $\eta_{ab}= \operatorname {diag} \begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\end{pmatrix} $，那它就不再垂直于 $u^b$ 了。
5. ^ 见流体运动的描述方法中的欧拉法。

                     

© 小时科技 保留一切权利