厄米共轭算符的映射结构

贡献者： addis; Giacomo

预备知识　矩阵与矢量空间，正交子空间，线性映射的结构，厄米共轭

图 1：定理 1 中的韦恩图，三角形表示线性空间，$X_0\cap X_1$ 和 $Y_0\cap Y_1$ 都是零向量。

定理 1　

　　令 $X, Y$ 为有限维线性空间，线性算符 $A:X \to Y$ 的零空间为 $X_0$，其厄米共轭（也叫自伴算符）$A ^\dagger : Y \to X$ 的零空间（定义 3 ）为 $Y_0$；令两算符的值空间（定义 2 ）分别为 $Y_1 = A(X)$，$X_1 = A ^\dagger (Y)$。那么 $X_0, X_1$ 是 $X$ 中的正交补（定义 2 ），$Y_0, Y_1$ 是 $Y$ 中的正交补。即

\begin{equation} X = X_0 \oplus X_1~, \qquad X_0 \perp X_1~, \end{equation}

\begin{equation} Y = Y_0 \oplus Y_1~, \qquad Y_0 \perp Y_1~. \end{equation}

其中 $\oplus$ 表示直和，$\perp$ 表示两空间正交。

　　证明见下文。

推论 1　

　　定理 1 中 $X_1, Y_1$ 维数相同，满足（见图 1 ）

\begin{equation} A(X_1) = Y_1~, \qquad A ^\dagger (Y_1) = X_1~, \end{equation}

且这两个映射都是双射。

　　根据定理 1 ，由于值空间的维数只能小于或等于定义域空间的维数，所以 $X_1, Y_1$ 维数相同。

推论 2　

　　矩阵的行秩等于列秩。

　　证明：令矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的算符为 $A$，该矩阵的列秩就是 $Y_1$ 的维数。而 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的行秩等于 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger $ 的列秩，也就是 $X_1$ 的维数。而 $X_1, Y_1$ 维数相同。证毕。

1. 证明

　　以下证明定理 1 中 $Y_1$ 的正交补就是 $Y_0$（$X_0, X_1$ 的证明同理）。令 $Y_1$ 的正交补为 $Y'_0$，那么 $y \in Y'_0$ 的充分必要条件是 $y$ 和 $Y_1$ 中所有矢量都正交，即

\begin{equation} \left\langle Ax \middle| y \right\rangle = 0 \qquad (\forall x \in X)~. \end{equation}

而根据零空间的定义 $y \in Y_0$ 的充分必要条件是 $A ^\dagger y = 0$，即

\begin{equation} \langle{x}|{A ^\dagger y}\rangle = 0 \qquad (\forall x \in X)~, \end{equation}

而式 4 和式 5 等效。所以 $Y'_0 = Y_0$。证毕。