对易算符

贡献者：待更新

　　定义算符 $A, B$ 的对易子（commutator）为

\begin{matrix} (1) & [A, B] = A B - B A, \end{matrix}

那么对易可以表示为

[A, B] = 0

，反之不对易表示为

[A, B] \neq 0

。

预备知识　映射

　　定义两个算符（即映射） $A : X \to X$ 和 $B : X \to X$ 的交换子（commutator）（也叫对易算符）为

\begin{matrix} (2) & [A, B] = A B - B A . \end{matrix}

两个算符相等在这里的意义是它们作用在任意

x \in X

上，结果都相等。算符的乘法

A B

在这里表示复合算符（即复合映射

A \circ B

）。

　　根据定义，当 $A B = B A$ 就有 $[A, B] = 0$ ，这时我们就说它们对易（commutes）或者交换，否则就不对易。

习题 1　

　　一般来说，矩阵乘法不满足交换律。试证明任意两个平面旋转矩阵（二维几何矢量空间的算符）对易（实数 $α \neq β$ ）

\begin{matrix} (3) & A = (\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix}) B = (\begin{matrix} \cos β & - \sin β \\ \sin β & \cos β \end{matrix}) . \end{matrix}

习题 2　

　　令 $X$ 为所有连续可导函数的集合，定义算符 $A$ 作用在任意 $f \in X$ 上的结果 $A f$ 为函数 $(A f) (x) = x f (x)$ ，定义算符 $B$ 为 $(B f) (x) = d f / d x$ 。试证明对易算符 $[A, B]$ 是单位算符，即 $[A, B] f = f$ 。

1. 常见性质

交换反对称
$\begin{matrix} (4) & [B, A] = - [A, B] . \end{matrix}$
线性性。设任意 $k$ 为常数，则
$\begin{matrix} (5) & [k A, B] = [A, k B] = k [A, B] . \end{matrix}$
分配律
$\begin{matrix} (6) & [A, B + C] = [A, B] + [A, C], [A + B, C] = [A, C] + [B, C], \end{matrix}$
$\begin{matrix} (7) & [A, B C] = [A, B] C + B [A, C] . \end{matrix}$
雅可比恒等式（Jacobi identity）
$\begin{matrix} (8) & [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 . \end{matrix}$