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定义算符 $A,B$ 的对易子（commutator）为
\begin{equation}
[A, B] = AB - BA~,
\end{equation}
那么对易可以表示为 $[A,B] = 0$，反之不对易表示为 $[A,B]\ne 0$。
定义两个算符（即映射）$A: X\to X$ 和 $B: X\to X$ 的交换子（commutator）（也叫对易算符）为
\begin{equation}
[A, B] = A B - B A~.
\end{equation}
两个算符相等在这里的意义是它们作用在任意 $x \in X$ 上，结果都相等。算符的乘法 $AB$ 在这里表示复合算符（即复合映射 $A\circ B$）。
根据定义，当 $A B = B A$ 就有 $[A, B] = 0$，这时我们就说它们对易（commutes）或者交换，否则就不对易。
习题 1
一般来说，矩阵乘法不满足交换律。试证明任意两个平面旋转矩阵（二维几何矢量空间的算符）对易（实数 $\alpha \ne \beta$）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}
\qquad
\boldsymbol{\mathbf{B}} = \begin{pmatrix}\cos\beta & -\sin\beta\\ \sin\beta & \cos\beta\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
习题 2
令 $X$ 为所有连续可导函数的集合，定义算符 $A$ 作用在任意 $f\in X$ 上的结果 $Af$ 为函数 $(Af)(x) = x f(x)$，定义算符 $B$ 为 $(Bf)(x) = \mathrm{d}{f}/\mathrm{d}{x} $。试证明对易算符 $[A, B]$ 是单位算符，即 $[A, B]f = f$。
1. 常见性质
\begin{equation}
[B, A] = -[A, B]~.
\end{equation}
分配律
\begin{equation}
[A, B + C] = [A, B] + [A, C]~,
\qquad
[A + B, C] = [A, C] + [B, C]~,
\end{equation}
\begin{equation}
[A, BC] = [A, B]C + B[A, C]~.
\end{equation}
\begin{equation}
[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0~.
\end{equation}