贡献者： addis
我们已经知道 $M\times N$ 的矩阵可以表示一个 $N$ 维列矢量的线性组合，得到一个 $M$ 维列矢量（式 5 ）。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{y}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} ~.
\end{equation}
我们可以把这个 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 看做任意一个 $N$ 维矢量空间
$X$ 中某矢量关于某组基底 $\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i\}$ 的坐标，而把 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 看做任意一个 $M$ 维矢量空间（以下称为 $Y$ 空间）中某矢量关于某组基底 $\{ \boldsymbol{\mathbf{y}} _i\}$ 的坐标
1。当基底的选取不同，同一个矩阵表示的映射也不同。
这样，我们就通过矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 建立了从 $X$ 空间到 $Y$ 空间的一个映射 $A:X\to Y$。即 $X$ 空间的任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $，都可以映射到 $Y$ 空间中唯一矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $。注意该映射既不一定是单射也不一定是满射，而是要取决于 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的具体性质。
特殊地，当矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为方阵时，矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 可以用于表示 $X$ 空间到自身的自映射 $A:X\to X$，即 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 都是 $X$ 空间中的矢量的坐标，但 $\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i\}$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{y}} _i\}$ 仍然可以是 $X$ 空间中两组不同的基底。同样，自映射也未必是单射或满射。
由矩阵与列矢量乘法的分配律（式 18 ）可知 $X$ 空间中若干个矢量做任意线性组合然后映射到 $Y$ 空间，等于这些矢量先分别映射到 $Y$ 空间再做同样的线性组合，即
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \left(\sum_i c_i \boldsymbol{\mathbf{x}} _i \right) = \sum_i c_i \left( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} _i \right) ~,
\end{equation}
这说明，
任何矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 表示的映射 $A:X\to Y$ 必定是线性映射。
作为一个简单的例子，我们来看平面旋转矩阵
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{R}} _2 = \begin{pmatrix}
\cos\theta & - \sin\theta\\
\sin\theta &\cos\theta
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
这是一个方阵，对应二维矢量空间（例如二维几何矢量构成的空间）的自映射。对于这个矩阵我们有 “主动” 和 “被动” 两种理解，前者假设基底不变而矢量旋转，后者假设矢量不变而基底旋转
2。这个映射中，映射前后的矢量有一一对应
关系。
我们还可能有多对一映射，即多个矢量映射后可能得到同一个矢量（例 1 ）。来看一个例子。
例 1 投影矩阵
我们考虑一个投影变换：将平面上任意几何矢量投影到 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 方向上得到该方向的矢量。已知该变换是线性的，写出变换矩阵（变换前后使用同一组正交归一基底 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _2$）
解：与 “平面旋转矩阵” 中的方法同理，先考虑各基底的投影变换。$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _1 = (1, 0) ^{\mathrm{T}} $ 投影后变为 $(1, 1) ^{\mathrm{T}} /\sqrt2$，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _2$ 投影后同样变为 $(1, 1) ^{\mathrm{T}} /\sqrt2$，所以投影变换矩阵即使两个列矢量组成的矩阵
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{P}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1 && 1\\ 1 && 1\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
注意该变换中虽然每个矢量都映射到同一空间的唯一的矢量，但不同的矢量有可能映射到同一个矢量。所以这是一个多对一映射。
1. 定义域和值域
式 1 表示的线性映射中，定义域（domain）是 $X$ 空间中的任意矢量，而值域（range）却不一定是整个 $Y$ 空间，也可能是 $Y$ 的一个子空间。任何情况下，线性映射的值域必定是一个矢量空间。例如例 1 中投影变换的值域就是沿 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _1 + \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _2$ 方向的任意矢量（包括零矢量）构成的一维矢量空间，是二维矢量空间中的一个子空间。
2. 矩阵的列
我们先来看第一空间的基底 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1$ 如何映射到第二空间。$ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1$ 对应的列矢量是 $(1, 0, \dots) ^{\mathrm{T}} $，作为 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 输入矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 得 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 等于 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的第一列。同理，矩阵的第 $i$ 列就是 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i$ 映射到第二个空间的矢量在基底 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i\}$ 上的坐标。
未完成：未完成
3. 矩阵元
线性算符 $A:X\to Y$ 的矩阵记为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，矩阵元记为 $A_{i,j}$，如果有一组 $X$ 的正交归一基底 $\xi_j$ 和 $Y$ 的正交归一基底 $\eta_i$，那么矩阵元为
\begin{equation}
A_{i,j} = \left\langle \eta_i \middle| A \middle| \xi_j \right\rangle ~,
\end{equation}
这里我们使用了狄拉克符号
表示点乘。若 $\xi_j, \eta_i$ 的列矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{\xi}} _j, \boldsymbol{\mathbf{\eta_i}} $，那么也可以记为
\begin{equation}
A_{i,j} = \boldsymbol{\mathbf{\eta_i}} ^\dagger { \boldsymbol{\mathbf{A}} } \boldsymbol{\mathbf{\xi_j}} ~.
\end{equation}
证明：把式 2 代入即可：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle \eta_i \middle| A \middle| \xi_j \right\rangle &= \langle{\eta_i}|{ \left(\sum_{i',j'} A_{i',j'} \left\lvert \eta_{i'} \right\rangle \left\langle \xi_{j'} \right\rvert \right) }|{\xi_j}\rangle
= \sum_{i',j'} A_{i',j'} \left\langle \eta_i \middle| \eta_{i'} \right\rangle \left\langle \xi_{j'} \middle| \xi_j \right\rangle \\
&= \sum_{i',j'} A_{i',j'} \delta_{i,i'}\delta_{j,j'}
= A_{i,j}~,
\end{aligned}
\end{equation}
证毕。
1. ^ 要再次强调列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 并不是矢量本身，而是矢量关于选定基底的坐标
2. ^ 注意 “主动” 和 “被动” 并不是两种唯一的理解，例如我们可以选择让基底顺时针旋转 $\theta/2$，矢量逆时针旋转 $\theta/2$。