贡献者： addis; Giacomo; 零穹
子空间的和是包含这些子空间的最小向量空间，但是，这种和的形式的表示方法是不唯一的。例如：设 $U_1=\langle e_1,e_2\rangle,U_2=\langle e_1,e_3\rangle, U=U_1+U_2$，则 $x=e_2\in U$ 可以表示为 $x=u_1+v_1$，其中 $u_1=e_2+e_1\in U_1,v_1=-e_1\in U_2$，也可以表示为 $x=u_2+v_2$，其中 $u_2=e_2\in U_1,v_2=0\in U_2$。
于是就有这样的问题出现：是否存在子空间 $U_1,\cdots,U_m$，使得它们的和 $U=U_1+\cdots+U_m$ 的每一元素都有唯一的表示？即若 $u\in U$，那么 $u=\sum_{i}^m U_i,x_i\in U_i$ 是唯一的。满足这一条件的子空间的和便被称为直和。
未完成：向量子空间的线性相关/无关：三种等价定义——0 的唯一表示、向量的唯一分解、交集为 0
定义 1 子空间的直和
在域 $\mathbb F$ 上的向量空间 $V$ 上取 两个子空间 $V_1$ 和 $V_2$，满足
\begin{equation}
V_1 \cap V_2 = \left\{0 \right\} ~.
\end{equation}
我们就说它们的张成子空间 $ \operatorname {span} (V_1 \cup V_2)$ 记做 $V_1 \oplus V_2$
且任意 ${v} \in V$ 都能表示为 $V_1$ 和 $V_2$ 中向量的之和，即
\begin{equation}
v = v_1 + v_2
\qquad
(v_1 \in V_1,\ v_2 \in V_2)~,
\end{equation}
那么空间 $V$ 就是 $V_1$ 和 $V_2$ 的
直和空间，用
直和（direct sum）运算记为
\begin{equation}
V = V_1 \oplus V_2~.
\end{equation}
我们把这两个子空间叫做
互补的，即 $V_2$ 是 $V_1$ 在 $V$ 中的
补空间（complement space），反之亦然。
子空间的直和也被称为内直和，而外直和指的是乘积空间（子节 2 ）。
注意：$V_1 \oplus V_2 \neq V_1 \cup V_2$；直和空间 $V_1 \oplus V_2$ 中的非零向量可以分为三组，分别是 $V_1$ 中的向量（$v_1 + 0_{V_2}$），$V_2$ 的向量（$0_{V_1} + v_2$），以及只能表示为 $V_1$ 和 $V_2$ 中非零向量之和的向量。
一般来说补空间是不唯一的（例 1 ），除非 $V_1 = V$ 或者 $V_1 = \{0\}$。
例 1
若三维空间中有两个不共线的几何向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v_1}} , \boldsymbol{\mathbf{v_2}} $，它们张成一个平面，或二维子空间。另有一个向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v_3}} $，独自张成一条直线，即一维空间。
若 $ \boldsymbol{\mathbf{v_3}} $ 落在 $ \boldsymbol{\mathbf{v_1}} , \boldsymbol{\mathbf{v_2}} $ 张成的平面内，则三个向量的所有线性组合仍然在该平面内，所以直和空间仍然是该平面。
若 $ \boldsymbol{\mathbf{v_3}} $ 落在平面外，则三个向量将会张成整个三维空间，所以直和就是三维空间。此时两个子空间在该三维空间中互补。由于 $ \boldsymbol{\mathbf{v_3}} $ 有无限多种线性无关的取法，$ \boldsymbol{\mathbf{v_1}} , \boldsymbol{\mathbf{v_2}} $ 张成的平面也有无限多个补空间。
1. 多个子空间的直和
同理，也可以把向量空间 $V$ 表示为有限多个子空间的直和
\begin{equation}
V = V_1 \oplus \dots \oplus V_n~.
\end{equation}
这可以理解为先把 $V_1, V_2$ 做直和，再把所得空间与 $V_3$ 做直和，以此类推。事实上，根据向量加法的结合律，容易证明直和也满足结合律，即
\begin{equation}
(V_1 \oplus V_2) \oplus V_3 = V_1 \oplus (V_2 \oplus V_3)~,
\end{equation}
所以多个空间的直和也无需添加括号。
以下讨论为了方便只使用两个子空间，但对多个子空间同样适用。
2. 直和空间的基底
从基底的角度来看，若 $V_1$ 和 $V_2$ 中分别有一组基底 $\{\alpha_i\}_i$ 和 $\{\beta_j\}_j$，那么直和空间中 $V$ 的任意向量可以表示为
\begin{equation}
{v} = \sum_i a_i {\alpha_i} + \sum_j b_j {\beta_j} \qquad (v\in V, a_i, b_i \in \mathbb F)~.
\end{equation}
定理 1
把 $V_1$ 的一组基底和 $V_2$ 的一组基底取并集，可以得到 $V_1 \oplus V_2$ 的一组基底。
证明：由于已经有式 6 ，我们只需要证明 $\alpha_1, \dots, \alpha_{N_1}, \beta_1, \dots, \beta_{N_2}$ 是线性无关的。使用反证法，若有不全为零的系数使
\begin{equation}
\sum_i a_i {\alpha_i} + \sum_j b_j {\beta_j} = 0~,
\end{equation}
令
\begin{equation}
u = \sum_i a_i {\alpha_i} = -\sum_j b_j {\beta_j}~,
\end{equation}
那么 $u \ne 0$ 且 $u \in V_1$ 且 $u \in V_2$。这违反了
定义 1 。证毕。
推论 1
如果 $V_1, V_2$ 是有限维度的，直和空间 $V_1 \oplus V_2$ 的维数等于 $V_1, V_2$ 的维数之和。
证明：定理 1 中的基底有 $N_1 + N_2$ 个。证毕。
注意 $N_1, N_2$ 可以等于零，零维线性空间仅由零向量一个元素构成。
定理 2 唯一分解
直和空间 $V = V_1 \oplus V_2$ 中，对任意 $v \in V$ 都存在唯一的 $v_1 \in V_1$ 和 $v_2 \in V_2$ 使得
\begin{equation}
v = v_1 + v_2~.
\end{equation}
证明：根据定理 1 ，式 6 的分解中每个系数（坐标）$a_i, b_i$ 都是唯一的，右边的两个求和就分别是式 9 的 $v_1$ 和 $v_2$，所以 $v_1, v_2$ 也是唯一的。
习题 1
把以上定理和推论拓展到多个子空间的情况并证明。
未完成：给出一个空间和子空间，如何求一个补空间？参考商空间一文