直和(线性空间)

                     

贡献者: addis

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  • 应当分为内直和和外直和
预备知识 子空间

定义 1 直和

   令域 $\mathbb F$ 上的向量空间 $V_1$ 和 $V_2$ 为 $V$ 的两个子空间,满足

\begin{equation} V_1 \cap V_2 = \left\{0 \right\} ~. \end{equation}
且任意 ${v} \in V$ 都能表示为 $V_1$ 和 $V_2$ 中向量的线性组合,即
\begin{equation} {v} = c_1 {v_1} + c_2 {v_2} \qquad ({v_1} \in V_1,\ {v_2} \in V_2,\ c_1, c_2 \in \mathbb F)~, \end{equation}
那么空间 $V$ 就是 $V_1$ 和 $V_2$ 的直和空间,用直和(direct sum)运算记为
\begin{equation} V = V_1 \oplus V_2~. \end{equation}
我们把这两个子空间叫做互补的,即 $V_2$ 是 $V_1$ 在 $V$ 中的补空间(complement space),反之亦然。

   事实上,定义中式 2 也可以改为

\begin{equation} {v} = {v_1} + {v_2} \qquad ({v_1} \in V_1,\ {v_2} \in V_2)~. \end{equation}
即 “任意 ${v} \in V$ 都能表示为 $V_1$ 和 $V_2$ 中向量之和”。这是因为 $c_1 v_1 \in V_1$,$c_2 v_2 \in V_2$。

   直和空间 $V_1 \oplus V_2$ 中的所有向量可以分为三组,分别是 $V_1$ 中的向量,$V_2$ 的向量,以及只能表示为 $V_1$ 和 $V_2$ 中非零向量之和的向量。

1. 多个子空间的直和

   同理,也可以把向量空间 $V$ 表示为多个子空间的直和

\begin{equation} V = V_1 \oplus \dots \oplus V_n~. \end{equation}
这可以理解为先把 $V_1, V_2$ 做直和,再把所得空间与 $V_3$ 做直和,等。事实上,根据向量加法的结合律,容易证明直和也满足结合律,即
\begin{equation} (V_1 \oplus V_2) \oplus V_3 = V_1 \oplus (V_2 \oplus V_3)~, \end{equation}
所以多个空间的直和也无需添加括号。

   以下讨论为了方便只使用两个子空间,但对多个子空间同样适用。

2. 直和空间的基底

   从基底的角度来看,若 $V_1$ 和 $V_2$ 中分别有一组基底 ${\alpha_i}$ $(i = 1, \dots, N_1)$ 和 ${\beta_i}$ $(i = 1, \dots, N_2)$,那么直和空间中 $V$ 的任意向量可以表示为

\begin{equation} {v} = \sum_i a_i {\alpha_i} + \sum_j b_j {\beta_j} \qquad (v\in V, a_i, b_i \in \mathbb F)~. \end{equation}

定理 1 

   把 $V_1$ 的一组基底和 $V_2$ 的一组基底按任意顺序排列,可以得到 $V_1 \oplus V_2$ 的一组基底。

   证明:由于已经有式 7 ,我们只需要证明 $\alpha_1, \dots, \alpha_{N_1}, \beta_1, \dots, \beta_{N_2}$ 是线性无关的。使用反证法,若有不全为零的系数使

\begin{equation} \sum_i a_i {\alpha_i} + \sum_j b_j {\beta_j} = 0~, \end{equation}
\begin{equation} u = \sum_i a_i {\alpha_i} = -\sum_j b_j {\beta_j}~, \end{equation}
那么 $u \ne 0$ 且 $u \in V_1$ 且 $u \in V_2$。这违反了定义 1 。证毕。

推论 1 

   直和空间 $V = V_1 \oplus V_2$ 的维数等于向量空间 $V_1, V_2$ 的维数之和。

   证明:定理 1 中的基底有 $N_1 + N_2$ 个。证毕。

   注意 $N_1, N_2$ 可以等于零,零维线性空间仅由零向量一个元素构成。

例 1 

   若三维空间中有两个不共线的几何向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v_1}} , \boldsymbol{\mathbf{v_2}} $,它们张成一个平面,或二维子空间。另有一个向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v_3}} $,独自张成一条直线,即一维空间。

   若 $ \boldsymbol{\mathbf{v_3}} $ 落在 $ \boldsymbol{\mathbf{v_1}} , \boldsymbol{\mathbf{v_2}} $ 张成的平面内,则三个向量的所有线性组合仍然在该平面内,所以直和空间仍然是该平面。

   若 $ \boldsymbol{\mathbf{v_3}} $ 落在平面外,则三个向量将会张成整个三维空间,所以直和就是三维空间。此时两个子空间在该三维空间中互补。

定理 2 唯一分解

   直和空间 $V = V_1 \oplus V_2$ 中,对任意 $v \in V$ 都存在唯一的 $v_1 \in V_1$ 和 $v_2 \in V_2$ 使得

\begin{equation} v = v_1 + v_2~. \end{equation}

   证明:根据定理 1 式 7 的分解中每个系数(坐标)$a_i, b_i$ 都是唯一的,右边的两个求和就分别是式 10 的 $v_1$ 和 $v_2$,所以 $v_1, v_2$ 也是唯一的。

习题 1 

   把以上定理和推论拓展到多个子空间的情况并证明。

  

未完成:补是不唯一的(例 1
未完成:给出一个空间和子空间,如何求一个补空间?

                     

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