双线性函数

                     

贡献者： 叶月2_

　　 显然，当固定一个向量不变时，双线性函数就是 $V$ 上的一个线性函数。

　　 双线性函数可以用矩阵表示。设 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}$ 为 $V$ 上的一组基，任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} =a^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \boldsymbol{\mathbf{y}} =b^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$，则 $f(a^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i,b^j \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=a^ib^jf( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)= \boldsymbol{\mathbf{x}} ^TA \boldsymbol{\mathbf{y}} $。称 $A$ 是 $f$ 在基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}$ 下的度量矩阵。

　　 内积具有双线性、正定性和对称性。我们可以把只保留双线性的度量矩阵看作广义内积。 在前文我们已经知道，相似变换可以改变线性映射和向量的表示。度量矩阵的意义便在于保持向量内积在新基下不变。

　　 设 $Q$ 为过渡矩阵，$B$ 为 $f$ 在新基下的表示，由内积不变得 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^TA \boldsymbol{\mathbf{y}} =x^T(Q^{-1})^TBQ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{y}} $，则 $B=Q^{T}AQ$。也就是说，合同变换实际上是改变双线性函数的度量矩阵表示。由于合同变换不改变矩阵的秩，因此把秩称作 $f$ 的矩阵秩。

　　 易见，左根和右根在数乘和加法下封闭，是 $V$ 的子空间。

　　 $f$ 的矩阵秩是判断其退化性的直接依据。

　　 证明：

　　 非退化意味着左根和右根都为 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $。

　　 设任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} =b^j \boldsymbol{\mathbf{e}} _j$，左根 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} =a^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$ 满足 $f(a^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i,b^j \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=b^ja^if( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=0$，则必有 $a^if( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)= \boldsymbol{\mathbf{x}} ^T A=(A^Tx)^T= \boldsymbol{\mathbf{0}} $。解集为 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 意味着 $f$ 是个单射，即满秩。同理可证，右根为 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 当且仅当 $f$ 满秩。

$f$ 的对称性

　　 交错性相当于幂零性，在特征不为 $2$ 的域下是可以推出反对称性的，由 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} + \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} + \boldsymbol{\mathbf{y}} )=0$ 可得。而在特征为 $2$ 的域下相当于是对称性。因此，本篇下述只研究对称性和反对称性双线性函数的性质。

　　 如果 $f$ 是对称的，则有 $f(a^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i,b^j \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=a^ib^jf( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=f(b^j \boldsymbol{\mathbf{e}} _j,a^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=a^ib^jf( \boldsymbol{\mathbf{e}} _j, \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)$，则其度量矩阵是对称的。 同理可证，若 $f$ 是反对称的，则其度量矩阵是反对称的。

• $f$ 是对称的 $\Leftrightarrow$ 其度量矩阵是对称的。
• $f$ 是反对称的 $\Leftrightarrow$ 其度量矩阵是反对称的。

　　 由于对称矩阵相似于对角矩阵，且其过渡矩阵是正交矩阵，因此这也是个合同变换的过程。所以对于线性空间 $V$ 上的对称双线性函数 $f$，我们总能找到一组基，使其度量矩阵在该基下为对角矩阵。

　　 反对称双线性函数也有较为简单的度量矩阵形式。

　　 证明：¹

　　 由对称矩阵的性质可知，$n< 3$ 时定理自然成立。下面假设维度小于 $n$ 时成立，需要证明维度为 $n$ 时定理依然成立。

　　 由于 $f$ 是反对称的，因此必然至少有两个向量其内积不为 $0$，如 $f( \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _1, \boldsymbol{\mathbf{x}} _2)=k\neq 0$，设 $ \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _2=k^{-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} _2$，则可得 $f( \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _1, \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _2)=1$。拓展这两个向量至 $V$ 上的一组基：

设 $f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _1)=k_i,f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} _i, \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _2)=k'_i$，并令 则有： 因此 $ \boldsymbol{\mathbf{\eta}} '_i\in \left( \operatorname {Span}\{ \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _1, \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _2\}\right)^{\bot}$。 可以证明 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _1, \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _2, \boldsymbol{\mathbf{\eta}} '_3... \boldsymbol{\mathbf{\eta}} '_n\}$ 依然构成 $V$ 上的一组基。因此 $V=\{ \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _1, \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _2\}\oplus \operatorname {Span}\{ \boldsymbol{\mathbf{\eta}} '_i\}_{i=3}^n$。 由题设可知，$f$ 在 $ \operatorname {Span}\{ \boldsymbol{\mathbf{\eta}} '_i\}_{i=3}^n$ 上存在一组基，使得在该子空间上的度量矩阵为定理所示形式，又因 $f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} '_i,\varepsilon_1)=f( \boldsymbol{\mathbf{\eta}} '_i,\varepsilon_2)=0$ 及 $f( \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _1, \boldsymbol{\mathbf{\varepsilon}} _2)=1$，定理得证。

---

1. ^ 引自丘维声《抽象代数》