贡献者： addis; Giacomo
定义 1 正交
一个内积空间 $V$ 中，如果两个向量 ${v_1}$ 和 ${v_2}$ 满足内积 $ \left\langle v_1, v_2 \right\rangle = 0$，我们就称它们相互正交；
如果两个子空间 $V_1$ 和 $V_2$ 任意各选一个向量 ${v_1}$ 和 ${v_2}$ 都相互正交，那么我们就说者两个子空间相互正交。
构造正交关系的一种简单的方法是，在 $V$ 中找到两组向量 $x_1, \dots, x_m$ 和 $y_1, \dots, y_m$，确保对任意 $x_i$ 和 $y_j$ 正交，那么 $x_1, \dots, x_m$ 张成的子空间必定和 $y_1, \dots, y_m$ 张成的子空间正交。
从的角度来看，两个空间正交的充分必要条件是：
定理 1
两个子空间 $V_1$ 和 $V_2$ 各选一组基底 $\{v_\alpha\}_\alpha$ 和 $\{w_\beta\}_\beta$，它们相互正交当且仅当对任意 $\alpha, \beta$ 都有 $ \left\langle v_\alpha, w_\beta \right\rangle = 0$。
例 1
三维几何向量空间中，建立直角坐标系，那么 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 张成的二维向量空间（平面）与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 张成的一维向量空间（直线）正交。
虽然 $xy$ 平面和 $xz$ 平面是两个垂直的平面，但它们并不相互正交。例如向量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 是两个平面共同的向量，但 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 和它本身不正交。
1. 相互正交的子空间的直和
习题 1
证明两个相互正交的子空间中，只有零向量是共同向量；换言之，两个子空间是正交的，意味着它们两个是线性无关的（参考基底）。
若在两个相互正交的子空间 $V_1$ 和 $V_2$ 分别中取一组基底，那么将他们合并起来就得到了母空间中的一组基底。特别地，如果 $V_1$ 和 $V_2$ 各取一组正交归一基底 $\{v_\alpha\}_\alpha$ 和 $\{w_\beta\}_\beta$，那么合并之后 $\{v_\alpha, w_\beta\}_{\alpha, \beta}$ 就是直和空间 $V_1 \oplus V_2$ 中的一组正交归一基底。但注意直和空间中的任意一组正交归一基底未必可以划分为 $V_1$，$V_2$ 空间中的两组基底。
2. 正交补
我们在 “直和” 中已经定义了补空间的概念，现在来定义一种特殊的补空间。
定义 2 正交补空间
在 $V$ 空间中，若 $V_1$ 和 $V_2$ 正交且 $V = V_1 \oplus V_2$，那么 $V_1$ 和 $V_2$ 互为对方的正交补空间（Orthogonal complement），简称正交补。
定理 2
从基底的角度来看，两个有限维空间 $V_1, V_2$ 是关于 $V$ 的正交的充分必要条件是：如果从两空间各选一组基底 ${\alpha_i}$ $(i = 1, \dots, N_1)$ 和 ${\beta_i}$ $(i = 1, \dots, N_2)$，那么基底 $\{\alpha_1, \dots, \alpha_{N_1}, \beta_1, \dots, \beta_{N_2}\}$ 就是 $X$ 的一组正交归一基底。
未完成：正交补是唯一的
未完成：如何求正交补？