贡献者： addis; Giacomo; JierPeter
1. 概念的引入
线性空间是一种集合，自然可以考虑其上各种各样的映射。比如在几何向量空间中，向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 有长度，表示为 $\lVert \boldsymbol{\mathbf{v}} \rVert$，我们可以定义映射 $f( \boldsymbol{\mathbf{v}} )=\lVert \boldsymbol{\mathbf{v}} \rVert \boldsymbol{\mathbf{v}} $，也就是把每个向量都伸长，伸长倍数恰为自己的长度。
可线性空间又不仅仅是个集合，它还有线性结构，即数乘和加法运算。上述 $f$ 并不能体现线性结构的威力，因为它不能保持线性结构——所谓保持线性结构，就是 “线性组合与映射可交换”。
比如说，考虑三维几何向量的投影变换，记为 $\pi$。任取若干向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$，它们的线性组合 $\sum_{i}a_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 也是一个向量。你可以先将 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 组合起来，再将结果用 $\pi$ 投影，得到 $\pi \left(\sum_{i}a_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \right) $；也可以先将每个 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 投影为 $\pi( \boldsymbol{\mathbf{v}} _i)$，再用同一组系数 $a_i$ 做组合，得到 $\sum_{i}a_i\pi( \boldsymbol{\mathbf{v}} _i)$。验算一下，两条路是不是殊途同归？这就叫保持线性结构。
保持线性结构的映射体现了线性性的威力，也是线性代数的核心之一。
2. 线性映射
定义 1 线性映射
给定域 $\mathbb F$（通常取实数域 $\mathbb R$ 或复数域 $\mathbb C$）上的线性空间 $V$ 和 $U$。如果有映射 $f:V\rightarrow U$ 满足：对于任意的向量 ${v}_1, {v}_2\in V$ 和标量 $c_1, c_2 \in \mathbb{F}$，都有
\begin{equation}
f(c_1 {v}_1+c_2 {v}_2)=c_1f({v}_1)+c_2f({v}_2)~.
\end{equation}
则称 $f$ 是 $V$ 到 $U$ 的一个
线性映射（linear map），也叫
线性变换（linear transform）。
特殊地，把 $f:V\to V$ 称为线性算子（linear operator），“算子” 也叫 “算符”。
注意一些材料中只把 $f:V\to V$ 称为线性变换，小时百科以定义 1 为准。
定义 1 的内涵比看上去广一些，不仅仅是对 $V$ 中两个向量的线性组合成立。容易证明对于任意的一组有限个向量 $\{v_i\}\subseteq V$ 和一组对应的标量 $\{c_i\}\subseteq\mathbb{F}$，都有
\begin{equation}
f \left(\sum_i c_i v_i \right) =\sum_i c_i f(v_i)~.
\end{equation}
特殊地，若令所有 $c_i = 0$ 可得
推论 1
线性映射 $f:V\to U$ 总把 $0 \in V$ 映射到 $0 \in U$。
习题 1 几何矢量的线性变换
请证明 $N$ 维几何线性空间 $V_N$ 中，以下变换 $f:V\to V$ 都是线性变换：
- 缩放：把矢量乘以一个固定标量 $\lambda$。
- 旋转：把矢量绕任意固定轴逆时针旋转固定角度 $\theta$。
- 镜像：把矢量关于某条过原点的固定直线做镜像对称。
- 投影：把二维矢量垂直投影到过原点的固定直线，或者把三维矢量垂直投影到过原点的平面（也可以拓展到 $N$ 维空间中的矢量投影到 $N-1$ 维平面）。
- 以上几种变换的任意组合。
注意在以上映射中，除了投影外都是双射，且都把零向量映射到零向量。多对一映射也会把一些非零向量映射到零向量。
习题 2
请证明两个线性映射 $f, g$ 的复合映射 $f \circ g$ 仍然是线性映射。注意 $f$ 的值域必须是 $g$ 的定义域的子集。
在映射中，我们把一个映射的像定义为值域中所有被映射到的元素的集合。
定义 2 值空间
线性映射 $f:V\to U$ 的像 $M = f(V) \subseteq U$ 是一个线性空间，即 $U$ 的子空间。称为 $f$ 的值空间（range space）。在不造成歧义的情况下我们也可以把该映射记为 $f: V\to M \subseteq U$。
我们把值空间的维度称为线性映射 $f$ 的秩，记做 $ \operatorname {rank}(f)$。
证明留作习题，使用线性空间的定义即可。
反过来，我们可以定义所有映射到零向量的元素的集合。
定义 3 零空间
给定线性映射 $f:V\to U$，$V$ 中被变映射到 $U$ 中零向量的全体向量所构成的集合 $\{v\in V|f(v)= 0\}$ 构成 $V$ 的子空间，称为 $f$ 的零空间（null space），也称为零化子空间或零化子，记做 $ \operatorname {null} (f)$ 或 $\ker{f}$。
我们把零空间的维度（$ \operatorname {dim}( \operatorname {null}(f))$）称为线性映射 $f$ 的零化度，记做 $ \operatorname {nullity}(f)$。
证明留做习题：只需要根据定义证明 $\{v\in V|f(v)= 0\}$ 是一个线性空间即可。
未完成：这两段应该放到后面展开讲解，太浓缩
如果 $\{{e}_i\}_{i=1}^n$ 是 $V$ 的一组基底，那么任意 $v\in V$ 都可以唯一地表示为 $v=\sum_i c_i {e}_i$ 的形式，其中 $c_i\in\mathbb{F}$。这样，由于线性性，$f(v)=\sum_ic_if({e}_i)$。也就是说，只需要知道了基向量被 $f$ 映射到哪里，也就可以计算出任意向量映射到哪里。于是，和线性函数一样，确定一个线性映射的时候，我们最多只能自由选择基向量映射到哪里，只不过这里的函数值不再是数字，而是 $U$ 中的向量。
在向量空间的表示中我们还会看到，选定两个空间的基以后，一个线性映射也可以看成是多个线性函数的排列，因此线性映射和线性函数性质很相似。线性函数是一种特殊的线性映射，$V$ 上的所有线性函数组成的向量空间叫做对偶空间。
3. 线性方程的解
定义 4 线性方程
对给定的线性映射 $A:X\to Y$ 和 $b \in Y$，线性方程为 $A (x) = b$；所有满足该式的 $x \in X$ 的集合 $X_s$ 叫做方程的解集。
首先注意 $A$ 未必把 $Y$ 中的每个元素都射中，即值空间 $A(X) \subseteq Y$ 只是 $Y$ 的一个子空间。所以只有 $b \in A(X)$ 时方程有解，否则无解（解集为空集）。用映射的语言，解集 $X_s$ 就是集合 $ \left\{b \right\} $ 的逆像 $A^{-1}( \left\{b \right\} )$。
当 $b = 0$ 时方程叫做算符 $A$ 的齐次方程。齐次方程的解就是映射的零空间（定义 3 ）。1
定理 1
线性方程 $A (x) = b$ 的解集可以表示为
\begin{equation}
X_s = X_0 + x_1~.
\end{equation}
其中 $x_1$ 为 $X_s$ 中的任意元素， $X_0$ 为映射的零空间。
说明：$X_0 + x_1 = \{x \in x_1 \mid x \in X_0\}$ 表示把 $X_0$ 中的每一个向量与 $x_1$ 相加得到的集合。易证当 $x_1 \ne 0$ 时解集 $X_s$ 不是一向量个子空间（因为不包含零向量）。
首先证明集合 $X_0 + x_1$ 中的元素满足 $Ax = b$。令任意 $x_0 \in X_0$
\begin{equation}
A(x_0 + x_1) = Ax_0 + Ax_1 = 0 + b = b~,
\end{equation}
证毕。再来证明解集中不存在 $X_0 + x_1$ 之外的向量。令 $x_2 \in X_S$ 且 $x_2 \ne x_1$，那么
\begin{equation}
A(x_2 - x_1) = Ax_2 - Ax_1 = b - b = 0~,
\end{equation}
即 $x_2 - x_1 \in X_0$，即 $x_2 \in x_1 + X_0$。证毕。
到此为止我们就可以非常清晰地勾画出多对一线性映射的结构了 $A: X \to Y$。我们先找到定理 1 中的零空间 $X_0$ 和它的补空间 $X_1$，其中 $X_1$ 的元素和值域空间 $A(X)$ 一一对应。那么对每个 $x_1 \in X_1$，线性映射就会把集合 $x_1 + X_0$ 所有元素映射到 $A(X)$ 中的同一个元素 $y_1 = Ax_1$ 上。
未完成：需要一个 3 维几何向量空间的真实例子，零空间 1 维，补空间 2 维
4. 线性映射空间
未完成：\mapsto 第一次出现，解释一下用法
从向量空间 $V$ 到向量空间 $W$ 有很多线性映射，全体线性映射的集合记做 $L(V, W)$，它也构成一个向量空间：对标量 $a \in \mathbb{F}$，线性映射 $f \in L(V, W)$，我们定义数乘为
\begin{equation}
\begin{aligned}
a \cdot f: V &\to W, \\
v &\mapsto a \cdot (f(v))~,
\end{aligned}
\end{equation}
对于线性映射 $f, f \in L(V, W)$，我们定义加法为
\begin{equation}
\begin{aligned}
f + f': V &\to W, \\
v &\mapsto f(v) + f(v')~.
\end{aligned}
\end{equation}
特别的，零函数 $v \mapsto 0_W$ 是向量空间 $L(V, W)$ 的零向量。
5. 矩阵表示线性变换
2给定实向量空间 $V$，并指定它的一组基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}_{i=1}^n$，这样就可以把每个向量都表示为一个 $n\times 1$ 的列矩阵，而每个线性变换也可以表示为一个 $n\times n$ 的方阵。
如果一个线性变换 $f$ 将各基向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 变换成 $a_{i1} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2+a_{i2} \boldsymbol{\mathbf{v}} _1+\cdots+a_{in} \boldsymbol{\mathbf{v}} _n$，那么我们可以把这个线性变换表示为矩阵：
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn}\\
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
这样，任何向量 $b_1 \boldsymbol{\mathbf{v_1}} +b_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2+\cdots+b_n \boldsymbol{\mathbf{v}} _n$ 变换为 $c_1 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1+c_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2+\cdots+c_n \boldsymbol{\mathbf{v}} _n$ 的过程，就可以用矩阵表示为：
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
c_1\\c_2\\c_3\\\vdots\\c_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_1\\b_2\\b_3\\\vdots\\b_n
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
注意，这个矩阵的第 $j$ 列单独拿出来看的话，正好就是第 $j$ 个基向量变换后的结果 $f( \boldsymbol{\mathbf{v}} _j)$。这一点很容易验证，只要把第 $j$ 个基向量的坐标代入计算就可以了。这一点使得我们可以很容易写出给定基下线性变换的矩阵，只需要把第 $j$ 个基向量变换后所得向量的坐标填入变换矩阵的第 $j$ 列就可以了。
最简单的矩阵对应的也就是最简单的线性变换：恒等变换，其矩阵是
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1&0&0&\cdots&0\\
0&1&0&\cdots&0\\
0&0&1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&1\\
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
6. 总结与拓展
到目前为止，我们对于向量的描述依然是抽象的，并未涉及许多具体的性质，如向量垂直、向量长度、向量坐标等概念。
在将来的文章中，我们会看到如何在给定了具体的基时用矩阵来描述向量和线性变换，以及当基的选择变化时，这些矩阵该如何变化。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 节选自小时百科《代数学》。