压强体积图

                     

贡献者： addis; _Eden_; FFjet

　　 根据理想气体状态方程，我们可以得知给定量的理想气体的宏观状态只有两个自由度。在例 1 中我们说到可以在压强 $P$，体积 $V$，温度 $T$ 等宏观量中任取两个来作为该系统的状态量，完全确定系统的宏观状态。而最常见的作法是取压强和体积 $P,V$。于是自然地，我们可以用一个二维直角坐标系 $P$-$V$ 中的一点来描绘理想气体某时刻的状态及其变化，称为压强体积图。该平面就是理想气体的（宏观）状态空间。注意在讨论 $P$-$V$ 上的状态变化时，我们往往假设气体始终处于准平衡的状态。

　　 对于其他的气体模型（如范德瓦尔斯气体），虽然状态方程与理想气体不同，但以上讨论仍然成立，所以同样可以用 $P$-$V$ 图描述其状态的变化。

　　

1. 等温线

　　 为了直观地表现它们的关系，我们可以借助压强体积图，在上面画出一条曲线——曲线上每个点表示在当前温度下不同压强所对应的不同体积。

　　 等温线帮助我们分析压强、体积与温度的关系。例如图 1 中等温线是反比例函数，意味着理想气体在同一温度下压强与体积成反比。

2. 压强体积图与做功

体积、压强与做功

　　 现有一个体积 $V$ 可变的容器，在容器壁上可以安装探测器来测量内部气体的压强 $P$。只要气体处于平衡态，气体的压强就处处相等。现在我们考虑这样一个问题——改变容器的体积，需要对容器做多少功（或者容器对外界做多少功）？

　　 假设容器是长方体，横截面是 $S$，那么这块面上受气体压强的力为 $P\cdot S$。如果改变长方体的体积，使它长度增加 $\mathrm{\Delta }x$（假设在这个过程中压强变化不大），那么气体对外做功为 $F\cdot \mathrm{\Delta }x=P\cdot S\mathrm{\Delta }x=P\mathrm{\Delta }V$。于是我们得出结论 $\mathrm{\Delta }W=P\mathrm{\Delta }V$，这不仅对长方体容器成立，对任意形状的容器都成立。

压强体积图上任意曲线的做功

　　 由于容器在改变体积的过程中，气体的压强可以发生变化，在一个复杂过程中做功不能用简单的 $P\mathrm{\Delta }V$ 概括，但我们却可以划分为无穷多个小过程，每一个小过程中压强变化不大，做功近似地可以看成是 $P\mathrm{\Delta }V$。这样一来，总的做功就是 $P\mathrm{d}V$ 的积分了。

　　 图像可以帮助我们方便地分析这个问题。对于 $P-V$ 图中的一条曲线，设容器从点 $1$ 沿着曲线变化到点 $2$——曲线上每一个点表明了气体在当时的体积和压强。

　　 如图 3 所示，做功

　　 由积分关系式可得，做功就是 $P$-$V$ 曲线下方的面积，也就是图中标注的阴影部分的面积。

　　 如图 4 所示，如果是一个闭合路径，在气体状态沿着它走的过程中，对外做功就是闭合路径围出的面积（顺时针为正）。