贡献者： addis
当我们把一个通有电流的线圈放置在磁场中时，这个线圈往往回受到安培力产生的力矩。本文讨论如何计算一些简单的情况，先看一道例题。
例 1 匀强磁场中的长方形线圈
假设一个粗细可以忽略不计的长方形电流环路被放置在匀强磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 中（图未完成），两条边的边长分别为 $a, b$，电流为 $I$。线圈平面的法向量（由右手定则定义）和磁场夹角为 $\theta$，边长为 $a$ 边始终垂直于磁场。求线圈所受力矩。
未完成：解：力矩的方向使得线圈的法向磁场的方向转动，大小正比于 $\sin\theta$。
为了更好地表示这个结果，定义磁矩（magnetic moment）1为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mu}} = I \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的方向是线圈的法向量，模长等于线圈的面积，我们不妨把它叫做面积矢量。根据
矢量叉乘的几何定义，线圈所受力矩为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{\mu}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.
\end{equation}
事实上，可以证明这个结论与线圈的形状无关，线圈甚至可以不在同一个平面上（此时需要重新定义 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $），详见 “
磁场中闭合电流的力矩”。另外，当我们由多匝线圈时，只需将结果乘以匝数即可。
1. 旋转的电荷
对于绕轴做圆周运动的点电荷，令角速度为 $\omega$，等效电流为 $q/T$，$T = 2\pi/\omega$ 是转动周期，圆周面积 $A = \pi r^2$，代入式 1 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mu}} = \frac{1}{2} q\omega r^2~.
\end{equation}
例 2 带电粒子经典圆周运动的磁矩
设一个带电粒子的电荷为 $q$，并且以匀速 $v$ 绕 $z$ 轴上半径为 $r$ 的圆做圆周运动，那么它所产生的电流为：
\begin{equation}
I=\frac{qv}{2\pi r}~.
\end{equation}
那么，它的磁矩为：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mu}} = \frac{qv}{2\pi r}\pi r^2 \hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} }=\frac{qvr}{2} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} } ~.
\end{equation}
由于其角动量为：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} =mvr\hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} }~.
\end{equation}
因此，磁矩与角动量的经典关系为：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mu}} = \frac{q}{2m} \boldsymbol{\mathbf{L}} ~.
\end{equation}
2. 带电圆环的磁旋比
令圆环净电荷为 $q$，旋转周期为 $T$，电流为 $q/T$，面积为 $A= \pi r^2$，因此磁矩为
\begin{equation}
\mu=\frac{q\pi r^2}{T}~.
\end{equation}
假设圆环的质量为 $m$，那么由于角动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} = I \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $，
圆环转动惯量为 $I = mr^2$，角速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = 2\pi/T$，因此角动量为
\begin{equation}
L = \frac{2\pi m r^2}{T}~,
\end{equation}
显然对于这样的带电圆环体，磁旋比为：
\begin{equation}
\gamma = \frac{\mu}{L} = \frac{q}{2m}~,
\end{equation}
注意到它和 $r$ 或者 $T$ 是无关的。此外，如果考虑更加复杂的球体，我们也可以将其分割为小的圆环，在将所有圆环累加在一起来得到 $\mu,S$ 的取值。此外，$ \boldsymbol{\mathbf{\mu}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 的方向当电荷为正时是同向的，当电荷为负时是相反的，因此：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mu}} = \frac{q}{2m} \boldsymbol{\mathbf{L}} ~.
\end{equation}
1. ^ 也叫磁偶极子，见 “磁多极矩”。