磁矩
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
贡献者: addis
当我们把一个通有电流的线圈放置在磁场中时,这个线圈往往回受到安培力产生的力矩。本文讨论如何计算一些简单的情况,先看一道例题。
例 1 匀强磁场中的长方形线圈
假设一个粗细可以忽略不计的长方形电流环路被放置在匀强磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 中(图未完成),两条边的边长分别为 $a, b$,电流为 $I$。线圈平面的法向量(由右手定则定义)和磁场夹角为 $\theta$,边长为 $a$ 边始终垂直于磁场。求线圈所受力矩。
解:(未完成)力矩的方向使得线圈的法向磁场的方向转动,大小正比于 $\sin\theta$。
为了更好地表示这个结果,定义磁矩(magnetic moment)1为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mu}} = I \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的方向是线圈的法向量,模长等于线圈的面积,我们不妨把它叫做面积矢量。根据矢量叉乘
的几何定义,线圈所受力矩为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{\mu}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.
\end{equation}
事实上,可以证明这个结论与线圈的形状无关,线圈甚至可以不在同一个平面上(此时需要重新定义 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $),详见 “磁场中闭合电流的力矩
”。另外,当我们由多匝线圈时,只需将结果乘以匝数即可。
1. 旋转的电荷
对于绕轴做圆周运动的点电荷,令角速度为 $\omega$,等效电流为 $q/T$,$T = 2\pi/\omega$ 是转动周期,圆周面积 $A = \pi r^2$,代入式 1 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mu}} = \frac{1}{2} q\omega r^2~.
\end{equation}
例 2 带电粒子经典圆周运动的磁矩
设一个带电粒子的电荷为 $q$,并且以匀速 $v$ 绕 $z$ 轴上半径为 $r$ 的圆做圆周运动,那么它所产生的电流为:
\begin{equation}
I=\frac{qv}{2\pi r}~.
\end{equation}
那么,它的磁矩为:
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mu}} = \frac{qv}{2\pi r}\pi r^2 \hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} }=\frac{qvr}{2} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} } ~.
\end{equation}
由于其角动量为:
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} =mvr\hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} }~.
\end{equation}
因此,磁矩与角动量的经典关系为:
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mu}} = \frac{q}{2m} \boldsymbol{\mathbf{L}} ~.
\end{equation}
2. 磁子的进动
未完成:未完成
若
1. ^ 也叫磁偶极子,见 “磁多极矩”。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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