磁场中闭合电流的力矩

贡献者： addis

预备知识 1　磁矩，梯度

图 1：闭合电流在磁场中所受的力矩

　　如图 1 ，在匀强磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 中，一段闭合环路电流（忽略粗细）所受的力矩为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{\mu}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~. \end{equation}

其中 $ \boldsymbol{\mathbf{\mu}} $ 是磁矩（megnetic moment），等于电流 $I$ 乘以以这个环路为边界的任意曲面的面积矢量，曲面法向量的方向通过右手定则判断。也就是说，该力矩的方向使磁矩矢量往磁场的方向偏转。

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\mu}} = I \boldsymbol{\mathbf{A}} ~, \end{equation}

其中面积矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的定义为（简单来说就是把图 1 中曲面上的所有小面积元求矢量和）

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \oint \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~. \end{equation}

一种简单的情况是，若闭合环路在同一个平面上，那么 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的模长就等于环路围成的面积。

　　更一般地，若磁场为非匀强，则力矩为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = I \int \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \boldsymbol\times \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} )~. \end{equation}

势能函数

　　若保持线圈中电流恒定不变，那么在匀强磁场中，我们可以得出式 1 中力矩对应的势能为

\begin{equation} E = - \boldsymbol{\mathbf{\mu}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} ~. \end{equation}

推导：式 1 中力矩的大小为 $\tau = \mu B\sin\theta$，若矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{\mu}} $ 于磁场的夹角从 $\theta_1$ 变为 $\theta_2$（$\theta$ 是两矢量的夹角），那么对 $\theta$ 定积分得力矩做功为 $-\mu B(\cos\theta_2-\cos\theta_1)$。做功为末势能减初势能，所以势能函数为 $-\mu B\cos\theta$（令积分任意常数为零），根据点乘的定义这就是式 5 。

1. 推导

预备知识 2　矢量算符运算法则

　　如图 1 ，线圈中有粗细可忽略的闭合电流 $I$，以及任意磁场分布 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，现在求线圈所受力矩。我们可以把线圈划分为许多小段 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $，每小段的安培力产生的力矩为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} } = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{F}} } = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times (I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )~, \end{equation}

对连续叉乘进行化简得

\begin{equation} \begin{aligned} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} } &= \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times (I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = I ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } - I \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } )~. \end{aligned} \end{equation}

对 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 沿闭合回路进行环积分得总力矩为

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} & = \int \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} } = I\oint ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } - I \boldsymbol{\mathbf{B}} \oint \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~. \end{aligned} \end{equation}

其中

\begin{equation} \oint \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \oint r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \oint r \,\mathrm{d}{r} = \left. \frac{r^2}{2} \right\rvert _{r_0}^{r_0} = 0~, \end{equation}

这是因为环积分的起点和终点到原点的距离都相同。所以

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} &= I \oint ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \\ &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} I \oint ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} I \oint ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} I \oint ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~. \end{aligned} \end{equation}

对第一项进行分析，剩下两项类推即可。由斯托克斯定理得

\begin{equation} \begin{aligned} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} I \oint ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} I \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} [ ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ] \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \\ &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} I \int \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \\ &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} I \int \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \boldsymbol\times \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ~. \end{aligned} \end{equation}

其中面积分在以环路为边界的任意曲面进行。对 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 项也同样处理，得式 4 。在匀强电场的情况下，$ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 是常矢量，$ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\mathbf{B}} $，得式 1 。

　　相关文章：“磁场中闭合电流的合力”。