磁场中闭合电流的力矩

                     

贡献者： addis

　　 如图 1 ，在匀强磁场 $\mathbf{B}$ 中，一段闭合环路电流（忽略粗细）所受的力矩为

其中 $\mathit{\mu }$ 是磁矩（megnetic moment），等于电流 $I$ 乘以以这个环路为边界的任意曲面的面积矢量，曲面法向量的方向通过右手定则判断。也就是说，该力矩的方向使磁矩矢量往磁场的方向偏转。 其中面积矢量 $\mathbf{A}$ 的定义为（简单来说就是把图 1 中曲面上的所有小面积元求矢量和） 一种简单的情况是，若闭合环路在同一个平面上，那么 $\mathbf{A}$ 的模长就等于环路围成的面积。

　　 更一般地，若磁场为非匀强，则力矩为

势能函数

　　 若保持线圈中电流恒定不变，那么在匀强磁场中，我们可以得出式 1 中力矩对应的势能为

推导：式 1 中力矩的大小为 $\tau =\mu B\sin \theta$，若矢量 $\mathit{\mu }$ 于磁场的夹角从 ${\theta }_1$ 变为 ${\theta }_2$（$\theta$ 是两矢量的夹角），那么对 $\theta$ 定积分得力矩做功为 $-\mu B(\cos {\theta }_2-\cos {\theta }_1)$。做功为末势能减初势能，所以势能函数为 $-\mu B\cos \theta$（令积分任意常数为零），根据点乘的定义这就是式 5 。

1. 推导

　　 如图 1 ，线圈中有粗细可忽略的闭合电流 $I$，以及任意磁场分布 $\mathbf{B}(\mathbf{r})$，现在求线圈所受力矩。我们可以把线圈划分为许多小段 $\mathrm{d}\mathbf{r}$，每小段的安培力产生的力矩为

对连续叉乘进行化简得 对 $\mathbf{r}$ 沿闭合回路进行环积分得总力矩为 其中 这是因为环积分的起点和终点到原点的距离都相同。所以 对第一项进行分析，剩下两项类推即可。由斯托克斯定理得 其中面积分在以环路为边界的任意曲面进行。对 $\hat{\mathbf{y}}$ 和 $\hat{\mathbf{z}}$ 项也同样处理，得式 4 。在匀强电场的情况下，$\mathbf{B}$ 是常矢量，$\mathbf{\nabla }(\mathbf{B}\mathbf{\cdot }\mathbf{r})=\mathbf{B}$，得式 1 。

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