安培力

贡献者： addis

预备知识　洛伦兹力

　　在匀强磁场中，一段笔直的细导线中通有电流 $I$ ，导线的长度和正方向用矢量 $L$ 表示¹，若电流与 $L$ 的方向相同则取正值，若相反则取负值。导线 $L$ 受到的安培力为

\begin{matrix} (1) & F = I L \times B . \end{matrix}

该式可由洛伦兹力推导，见下文。

　　当磁场分布不均匀，或导线是弯曲的，可用 “微元法” 的思想，把该导线分为许多小段然后对每小段的安培力 $d F = I d L \times B$ 进行矢量求和，即曲线积分）。

\begin{matrix} (2) & F = I \int_{L} d r \times B, \end{matrix}

L

为导线所在的曲线，积分方向沿电流方向。

1. 推导（匀强磁场中的直导线）

　　假设导线中正电荷运动而负电荷不动²，运动的正电荷线密度（单位长度的电荷量）为 $λ$ ，速度为 $v$ 。那么电流为

\begin{matrix} (3) & I = λ v, \end{matrix}

所有运动的正电荷受到的洛伦兹力为

\begin{matrix} (4) & F = q v \times B . \end{matrix}

当电流方向

v

与

L

相同时有

L v = v L

，此时定义电流为正，

I = λ v

，相反时有

L v = - v L

，定义电流为负，

I = - λ v

。所以

\begin{matrix} (5) & q v = λ L v = \pm λ v L = I L, \end{matrix}

代入式 4 得

\begin{matrix} (6) & F = I L \times B . \end{matrix}

1. ^ 根据电流连续性定理，电流不可能在端点凭空出现或消失，所以我们可以认为 $L$ 是一个回路中的一段。
2. ^ 事实上是负电荷 $- λ$ 以 $- v$ 运动而正电荷不动，但这样假设得到的安培力相同，且方便记忆和推导。