安培力
贡献者： addis
在匀强磁场中，一段笔直的细导线中通有电流 $I$，导线的长度和正方向用矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 表示1，若电流与 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 的方向相同则取正值，若相反则取负值。导线 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 受到的安培力为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = I \boldsymbol{\mathbf{L}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.
\end{equation}
该式可由洛伦兹力推导，见下文。
当磁场分布不均匀，或导线是弯曲的，可用 “微元法” 的思想，把该导线分为许多小段然后对每小段的安培力 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{F}} } = I \boldsymbol{\mathbf{ \,\mathrm{d}{}} } {L} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 进行矢量求和，即曲线积分）。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = I\int_L \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~,
\end{equation}
$L$ 为导线所在的曲线，积分方向沿电流方向。
1. 推导（匀强磁场中的直导线）
假设导线中正电荷运动而负电荷不动2，运动的正电荷线密度（单位长度的电荷量）为 $\lambda$，速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $。那么电流为
\begin{equation}
I = \lambda v~,
\end{equation}
所有运动的正电荷受到的洛伦兹力为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = q \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.
\end{equation}
当电流方向 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 相同时有 $L \boldsymbol{\mathbf{v}} = v \boldsymbol{\mathbf{L}} $，此时定义电流为正，$I = \lambda v$，相反时有 $L \boldsymbol{\mathbf{v}} = -v \boldsymbol{\mathbf{L}} $，定义电流为负，$I = -\lambda v$。所以
\begin{equation}
q \boldsymbol{\mathbf{v}} = \lambda L \boldsymbol{\mathbf{v}} = \pm \lambda v \boldsymbol{\mathbf{L}} = I \boldsymbol{\mathbf{L}} ~,
\end{equation}
代入
式 4 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = I \boldsymbol{\mathbf{L}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.
\end{equation}
1. ^ 根据电流连续性定理，电流不可能在端点凭空出现或消失，所以我们可以认为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 是一个回路中的一段。
2. ^ 事实上是负电荷 $-\lambda$ 以 $- \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 运动而正电荷不动，但这样假设得到的安培力相同，且方便记忆和推导。