贡献者： 水铭; _Eden_; addis
引理 1 分子电流观点
对于物质磁性的解释，把每个宏观体积元内的分子看成完全一样的电流环，及具有同样的面积 $a$ 和取向（由面元矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 表示），环内具有同样的电流 $I$，而磁性由分子电流引发。故而后面式 4 可以把电流密度的体积分转变为电流的环路积分。
1. 磁矢势的多级展开
类似于电多级展开的讨论，我们考虑一个局域在原点附近的电流密度分布 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ')$ 在远离电流区域的 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 处所产生的磁矢势（也就是说 $| \boldsymbol{\mathbf{x}} |\gg| \boldsymbol{\mathbf{x}} '|$）。这里我们用的是库仑规范（实际上在静磁问题中，库仑规范和洛伦兹规范等价）。电流分布在小区域 $V$ 内。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\dfrac {\mu_0}{4\pi} \int_V \dfrac{ \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}) \,\mathrm{d}{V} ^{\prime}}{| \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} '|}~.
\end{equation}
为了计算远处任意一点 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 处的磁矢势，我们可以做
泰勒展开：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} )&=\dfrac {\mu_0}{4\pi}\int_V \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ')\Big[\dfrac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{x}} |}- \boldsymbol{\mathbf{x}} '\cdot\nabla \dfrac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{x}} |}+\dfrac{1}{2!}\sum_{i,j}x_i^{\prime}x_j^{\prime} \frac{\partial^2 }{\partial x_i \partial x_j} {\dfrac 1 {| \boldsymbol{\mathbf{x}} |}}+\cdots\Big] \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} V^{\prime}
\\
&=\dfrac{\mu_0}{4\pi| \boldsymbol{\mathbf{x}} |}\int_V \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ') \,\mathrm{d}{V} '
-\sum_{j}\dfrac{\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{x}} _j}{4\pi | \boldsymbol{\mathbf{x}} |^3}\int_V \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ') \boldsymbol{\mathbf{x}} '_j + \cdots
\end{aligned}~
\end{equation}
中，第一项
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(0)}( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\dfrac {\mu_0}{4\pi | \boldsymbol{\mathbf{x}} |}\int_V \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ') \,\mathrm{d}{V^{\prime}} ~.
\end{equation}
由于电流的连续性，把电流分为许多闭合的流管，对于每一个流管来说，有
\begin{equation}
\int_V \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}) \,\mathrm{d}{V^{\prime}} =\oint_L I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} '} =I\oint_L \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} '} =0~,
\end{equation}
得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(0)}=0~.
\end{equation}
对展开式第二项
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(1)}=-\dfrac{\mu_0 }{4\pi}\int_V \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime})\Big ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\cdot\nabla\dfrac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{x}} |}\Big) \,\mathrm{d}{V^{\prime}} ~,
\end{equation}
由
式 4 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(1)}=-\dfrac{\mu_0 I }{4\pi}\int_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\cdot\nabla\dfrac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{x}} |}) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} '} =\dfrac{\mu_0 I }{4\pi}\int_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\cdot\dfrac{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }{| \boldsymbol{\mathbf{x}} |^3}) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } ^{\prime}
=\dfrac{\mu_0 I }{4\pi| \boldsymbol{\mathbf{x}} |^3}\int_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } ^{\prime}
~.
\end{equation}
其中 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } ^{\prime}= \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} '} $ 是因为 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}$ 为闭合流管上的坐标。为了进一步计算，我们利用：
\begin{equation}
\begin{aligned}
0&=\sum_{i,j}\oint_L \,\mathrm{d}\left( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i \boldsymbol{\mathbf{x}} '_i \boldsymbol{\mathbf{x}} '_j \right) =\sum_{i,j}\oint_L \boldsymbol{\mathbf{x}} _i \boldsymbol{\mathbf{x}} '_i \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} '_j} + \boldsymbol{\mathbf{x}} _i \boldsymbol{\mathbf{x}} '_j \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} '_i} \\
&=
\oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} '} +\oint_L ( \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} '} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}~,
\end{aligned}
\end{equation}
再根据双重叉积的矢量恒等式
\begin{equation}
\oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} '} =\dfrac1 2\oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} '} )\times \boldsymbol{\mathbf{x}} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ^{(1)}=\dfrac{\mu_0}{4\pi R^3}\cdot\dfrac{I}{2}\oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} '} )\times \boldsymbol{\mathbf{x}} =\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{ \boldsymbol{\mathbf{m}} \times \boldsymbol{\mathbf{x}} }{| \boldsymbol{\mathbf{x}} |^3}~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{m}} =\dfrac{I}{2}\oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} '} )$ 被称为磁矩，而对于一个小线圈（分子电流），他所围的面元 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 可以表示为
\begin{equation}
\Delta \boldsymbol{\mathbf{S}} =\dfrac 1 2\oint_L \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\prime}\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} '} ~.
\end{equation}
故而，有等式
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{m}} =I\Delta \boldsymbol{\mathbf{S}} ~.
\end{equation}
所以，推广到原点附近的任意电流分布，我们就可以类似地定义其磁偶极矩 $ \boldsymbol{\mathbf{m}} $（或简称为磁矩）：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{m}} =\frac{1}{2}\int \boldsymbol{\mathbf{x}} ' \times \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ') \,\mathrm{d}{V} '~.
\end{equation}
于是它在远处的磁矢势和磁场可近似为：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{ \boldsymbol{\mathbf{m}} \times \boldsymbol{\mathbf{x}} }{| \boldsymbol{\mathbf{x}} |^3},\ \
\boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\frac{\mu_0}{4\pi}\Big [\frac{3 \boldsymbol{\mathbf{n}} ( \boldsymbol{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{m}} )- \boldsymbol{\mathbf{m}} }{| \boldsymbol{\mathbf{x}} |^3}\Big]~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 为 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 方向的单位矢量。这是一个磁偶极矢势，它完全类似于静电学中电偶极场的情形。