质点系（摘要）
贡献者： ACertainUser
1. 质点系
图 1：质点系
内力与外力
图 2：内力与外力
质点所受的力可分为两类：施力与受力物体都在系统内的力叫内力，而施力、受力物体之一在系统外的叫外力。同理，可区分内力矩与外力矩。
例如，把小明看作一个系统，那么地面对小明的支持力、小明所受的重力都是外力（因为施力物体是地球，显然不属于小明这个系统之内），而小明的腿对小明身子的支持力是内力。
之所以这么区分，是因为内力与内力矩有一个非常好的性质：系统中内力和与内力矩和始终为零。
质点系的势能
简而言之，质点系的势能可以理解为 “组建系统所需要的能量”，它的根源是质点系中各质点的相互作用。
状态量与过程量
系统的 “状态” 可由一系列的物理量描述、确定，包括 “宏观量”（系统的机械能、系统的体积...）与 “微观量”(各质点的位矢、动量...)等。
例如桌面上有一杯水，就经典物理的眼光而言，我们可以测量他的状态量，包括温度、体积、压力，甚至用想象中的神奇工具测出每一个水分子的位矢与动量。但是，我们不能直接测量它所经历的过程，我们还是不知道这杯水曾经被烧开过多少次，或者是从哪条河流中来的。
在牛顿力学中这部分内容不是必须的，但在经典热力学中我们会大量涉及这类问题。
2. 质点系动力学
表1：质点系相关物理定律
| 名称 | 公式 | 涉及的物理量 1 | 涉及的物理量 2 | 相应的守恒律 |
| 动量定理 | $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} ^{out}= \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} $ | $ \boldsymbol{\mathbf{P}} = \sum \boldsymbol{\mathbf{P}} _i = \sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i)$ 系统的总动量是系统中各质点的动量之和。 | $ \boldsymbol{\mathbf{F}} =\sum \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 是系统所受的合力。由于内力和总为 $0$，只有外力和会改变系统的动量。 | 若 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，则 $ \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} = 0$，即外力和为零时，系统动量守恒。 |
| 角动量定理 | $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} ^{out}= \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} $ | $ \boldsymbol{\mathbf{L}} = \sum \boldsymbol{\mathbf{L}} _i= \sum ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \times \boldsymbol{\mathbf{P}} _i)$ 系统的总角动量是系统中各质点的角动量之和。 | $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} =\sum \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i = \sum \boldsymbol{\mathbf{(}} \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i)$ 是系统所受的力矩和。由于内力矩和总为 $0$，只有外力矩和会改变系统的角动量。 | 外力矩和为零时，系统角动量守恒。 |
| 动能定理 | $W = \Delta E_k$ | $E_k = \frac{1}{2}\sum (m_i v_i^2)$ 系统总动能是各质点的总动能之和。 | $W = \sum ( \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)$ 是各力对系统做的功之和。注意 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 的含义不同于力矩中的符号，且内、外力做的功都会影响系统的总动能。 | 功之和为零时，系统动能守恒 |
| 保守力的功-能关系 | $W_{CON} = -\Delta E_p$ | $E_P$ 是系统的势能 | $W_{CON}$ 是保守内力的功之和 | $W_{C} = 0 \Rightarrow \Delta E_{P} = 0$ |
| 机械能定理 | $W_{NC} = \Delta E_{mech}$ | $E_{mech} = E_k+E_P$ 系统机械能是系统动能、势能之和 | $W_{NC}$ 是外力与非保守内力的功之和 | $W_{NC} = 0 \Rightarrow \Delta E_{mech} = 0$ |
3. 质心与质心系
有时，我们会抽象出系统的质心，并构建质心系。
表2：质心的物理量
| 名称 | 定义 |
| 质量 | $M=\sum m_i$ |
| 位置 | $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c =\frac{\sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)}{M} $ |
| 速度 | $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _c = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c}}{\mathrm{d}{t}} =\frac{\sum (m_i \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i}}{\mathrm{d}{t}} )}{M}=\frac{\sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i)}{M} $ |
| 加速度 | $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _c = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _c}}{\mathrm{d}{t}} =\frac{\sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{a}} _i)}{M} $ |
| 动量 | $ \boldsymbol{\mathbf{p}} _c = M \boldsymbol{\mathbf{v}} _c = \sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) = \sum \boldsymbol{\mathbf{p}} _i$ |
| 角动量 | $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _c = \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \times \boldsymbol{\mathbf{P}} _c$ |
| 动能 | $E_{k,c} = \frac{1}{2} M v_c^2$ |
注意，除了部分物理量，“质心的物理量” 并不同于 “质点系的物理量”。以下定理给出它们之间的部分联系：
表3：一些定理