质点系

贡献者： addis; ACertainUser

预备知识　牛顿第三定律

图 1：质点系

　　在考虑多个物体构成的系统时，我们有时候可以把每个物体都近似为一个质点，这样我们就得到了由有限个质点构成的系统，简称为质点系或者质点组。

1. 内力与外力

图 2：内力与外力

　　令质点系中有 $N$ 个质点，每个质点的受力都可以分为两类，一是系统外界物体给该质点的力，称为外力，二是来自系统内其他质点的力，称为内力。对第 $i$ 个质点，以下将它受到的所有外力和内力之和分别记为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out}$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{in}$，即单个质点的合内力以及合外力，所以单个质点所受的合力为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{in} + \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out}~. \end{equation}

　　系统中所有质点所受的合力等于合内力加合外力¹

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{tot} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \sum_i^N \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{in} + \sum_i^N \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out} = \boldsymbol{\mathbf{F}} _{tot}^{in} + \boldsymbol{\mathbf{F}} _{tot}^{out}~. \end{equation}

若将第 $j$ 个质点对第 $i$ 个质点的内力记为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{j\to i}$ 则上式中

\begin{equation} \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{in} = \sum_{i,j}^{i \ne j} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{j \to i}~. \end{equation}

任意两个质点 $k$ 和 $l$ 对该求和的贡献是一对相互作用力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{k \to l} + \boldsymbol{\mathbf{F}} _{l \to k}$，而根据牛顿第三定律，相互作用力之和为零。所以上式求和为零。所以，质点系中合内力为零，系统所受合力等于合外力

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{tot} = \boldsymbol{\mathbf{F}} _{tot}^{out} = \sum_i^N \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out}~. \end{equation}

1. ^ 角标 “tot” 表示 total。