质点系的动能、柯尼希定理

贡献者： addis

预备知识　质点系的动量，质心参考系

　　某参考系中，质点系的动能定义为每个质点的动能之和

\begin{matrix} (1) & E_{k} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} . \end{matrix}

其中

m_{i}

是第

i

个质点的质量，

v_{i}

是其速度的大小。

1. 柯尼希定理

　　某参考系 $S$ 中，质点系的动能（式 1 ）等于 $S$ 中质点系质心的动能加上质点系在质心系 $S_{c}$ 中的动能，即

\begin{matrix} (2) & E_{k} = \frac{1}{2} M v_{c}^{2} + \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{c i}^{2} . \end{matrix}

其中

M = \sum_{i} m_{i}

是所质点系的总质量，

v_{c}

是质心系相对于当前参考系的运动速度的大小，

m_{i}

是第

i

个质点的质量，

v_{c i}

是第

i

个质点在质心系中的速度。

　　所谓 “质心的动能”，就是 $S$ 中质心处质量为 $M$ 的质点的动能，即 $M v_{c}^{2} / 2$ 。

　　注意根据速度的叠加原理，任意质点的三个速度矢量满足关系（式 1 ）

\begin{matrix} (3) & v_{i} = v_{c} + v_{c i} . \end{matrix}

　　一个圆环在水平地面上延直线无摩擦不打滑地滚动，其半径为 $R$ ，质量为 $M$ ，角速度为 $ω$ ，求地面参考系中圆环的动能。

　　解：把圆环看成很多个小块，每块看作一个质点 $m_{i}$ ，每个质点相对于圆心旋转的线速度大小都是 $v_{c i} = ω R$ ，所以不打滑时地面相对于圆心平移的移动速度大小，等于圆心相对于地面平移的速度大小，同样是 $v_{c} = ω R$ ，代入式 2 得动能为

\begin{matrix} (4) & E_{k} = \frac{1}{2} M v_{c}^{2} + \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{c i}^{2} = \frac{1}{2} M ω^{2} R^{2} + \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} ω^{2} R^{2} = M ω^{2} R^{2} . \end{matrix}

　　在 $S$ 系中，根据式 1 和式 3 有

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} E_{k} & = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} (v_{c} + v_{c i})^{2} \\ = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{c}^{2} + \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{c i}^{2} + \sum_{i} m_{i} v_{c} \cdot v_{c i} . \end{aligned} \end{matrix}

对比式 2 可知，现在只需证明

\sum_{i} m_{i} v_{c} \cdot v_{c i} = 0

即可。考虑到

\begin{matrix} (6) & \sum_{i} m_{i} v_{c} \cdot v_{c i} = v_{c} \cdot \sum_{i} m_{i} v_{c i} . \end{matrix}

而质心系中的质点系动量为零（式 2 ），所以

\begin{matrix} (7) & \sum_{i} m_{i} v_{c i} = 0 . \end{matrix}

证毕。