质点系的动能、柯尼希定理
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
贡献者: addis
某参考系中,质点系的动能定义为每个质点的动能之和
\begin{equation}
E_k = \frac12 \sum_i m_i v_{i}^2 ~.
\end{equation}
其中 $m_i$ 是第 $i$ 个质点的质量,$v_i$ 是其速度的大小。
1. 柯尼希定理
定理 1 柯尼希定理(König's theorem)
某参考系 $S$ 中,质点系的动能(式 1 )等于 $S$ 中质点系质心的动能加上质点系在质心系 $S_c$ 中的动能,即
\begin{equation}
E_k = \frac12 Mv_c^2 + \frac12 \sum_i m_i v_{ci}^2 ~.
\end{equation}
其中 $M=\sum_i m_i$ 是所质点系的总质量,$v_c$ 是质心系相对于当前参考系的运动速度的大小,$m_i$ 是第 $i$ 个质点的质量,$v_{ci}$ 是第 $i$ 个质点在质心系中的速度。
所谓 “质心的动能”,就是 $S$ 中质心处质量为 $M$ 的质点的动能,即 $Mv_c^2/2$。
注意根据速度的叠加原理,任意质点的三个速度矢量满足关系(式 1 )
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \boldsymbol{\mathbf{v}} _c + \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci}~.
\end{equation}
例 1 圆环滚动的动能
一个圆环在水平地面上延直线无摩擦不打滑地滚动,其半径为 $R$,质量为 $M$,角速度为 $\omega$,求地面参考系中圆环的动能。
解:把圆环看成很多个小块,每块看作一个质点 $m_i$,每个质点相对于圆心旋转的线速度大小都是 $v_{ci} = \omega R$,所以不打滑时地面相对于圆心平移的移动速度大小,等于圆心相对于地面平移的速度大小,同样是 $v_c = \omega R$,代入式 2 得动能为
\begin{equation}
E_k = \frac12 M v_c^2 + \frac12 \sum_i m_i v_{ci}^2 = \frac12 M\omega^2 R^2 + \frac12 \sum_i m_i\omega^2 R^2 = M\omega^2 R^2~.
\end{equation}
2. 证明
在 $S$ 系中,根据式 1 和式 3 有
\begin{equation}
\begin{aligned}
E_k &= \frac12 \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _{i}^2
= \frac12 \sum_i m_i ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _c + \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci} )^2 \\
&= \frac12 \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _{c}^2 + \frac12 \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci}^2 + \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _c \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci}~.
\end{aligned} \end{equation}
对比
式 2 可知,现在只需证明 $\sum\limits_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _c \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci} = 0$ 即可。考虑到
\begin{equation}
\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _c \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _c \boldsymbol\cdot \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci}~.
\end{equation}
而质心系中的质点系动量为零(
式 2 ),所以
\begin{equation}
\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci} = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~.
\end{equation}
证毕。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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