贡献者： addis; Giacomo; JierPeter; pipeyume
向量空间（vector space） 也叫矢量空间或线性空间（linear space），是一种满足一定条件的非空集合，其元素叫做向量或矢量。它必须满足，在其中选择任意两个向量，它们的线性组合（定义 2 ）仍然在这个空间中。进行归纳后易得，这个条件等价于 “任意有限个向量的线性组合仍然在这个空间中”（封闭性）。
（二维、三维）欧几里得空间和列向量空间都是特别的向量空间，对应的向量为几何向量和列向量
一个一般的向量，不一定具有长度和方向（几何向量的性质），也不一定有具体的分量（列向量的性质）；任何 “东西” 都可以是向量，例如下面会看到函数也可以看作向量。
在小时百科中，我们仅用粗体正体字母（如 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $）表示几何向量或者矩阵（包括单行单列的矩阵），而本文定义的一般向量空间的向量则使用与普通标量一样的字体（如 $v$）。更多规则详见 “小时百科符号与规范”。
1. 定义
向量空间的定义必须依赖一个域（field） $\mathbb F$，即 “域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间”。简单来说，域就是能进行加减乘除的对象的一个集合，比如实数域 $\mathbb R$ 和复数域 $\mathbb C$。这个域被称为该向量空间的标量域（scalar field）或标域，它的元素被称为向量空间的标量（scalar），它们不是向量空间的元素，但是可以用来和向量进行数乘。我们接下来只会讨论实数（或复数）域上的向量空间，所以即使我们不了解域的具体定义也没关系，只要知道实数和复数是两种常见的域就足够了。
定义 1 向量空间
标量域 $\mathbb F$ 上的向量空间定义了向量的集合 $X$、两个向量间的加法运算 $X\times X \to X$ 以及标量和向量间的数乘运算 $\mathbb F \times X \to X$。令向量 $u,v,w \in X$，标量 $a,b \in \mathbb F$，向量加法记为 $u + v$，数乘记为 $a u$；两种运算必须满足以下性质：
加法运算
- 满足加法交换律 $u + v = v + u$。
- 满足加法结合律 $(u + v) + w = u + (v + w)$。
- 存在零向量 $0_X$，使得 $v + 0_X = v$。
- 空间中任意向量 $v$ 存在逆向量 $-v$，使得 $v + (-v) = 0_X$。
数乘运算
- 分配律（向量和）$a(u + v) = au + av$。
- 分配律（标量和）$(a + b)v = av + bv$。
- 结合律 $a (b v) = (ab) v$。
说明：加法运算 $X \times X \to X$ 是一个二元映射（子节 2 ）, 注意运算的结果必须仍然落在 $X$ 中。我们把这样的运算叫做封闭（closed）的1。数乘运算同样也是封闭的，即一个向量数乘标量后仍然落在 $X$ 中。我们现在还没有涉及 $X$ 以外的元素，所以封闭性看似有些多余，但以后会看到一个向量空间 $X$ 的子集 $X_1$ 也可以是向量空间，称为子空间，$X_1$ 上的两种运算封闭意味着运算结果只能落在 $X_1$ 中而不能是 $X$ 的其他元素。另外，我们要注意区分标量的零元 $0$ 和向量的零元 $0_X$。
推论 1
令 $a$ 为标量，$v$ 为向量，则
1. $0\cdot v=0_X$。
$\quad$ 证明：$0\cdot v=(a-a)\cdot v=av+(-av)=0_X$.
2. $a \cdot 0_X=0_X$。
$\quad$ 证明：$a \cdot 0_X=a\cdot(v+(-v))=av+(-av)=0_X$.
3. $-1 \cdot v= - v$。
$\quad$ 证明：$v + (-1 \cdot v)= (1 - 1) \cdot v = 0_X$.
习题 1 几何向量
证明 1,2,3 维空间中的所有几何向量各自构成实数域 $\mathbb R$ 上的向量空间。
作为一个非几何向量的例子，我们来看由多项式构成向量空间。
例 1 多项式
所有不大于 $n$ 阶的多项式 $c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + \dots + c_1 x + c_0$ 可以构成一个实数或复数向量空间。定义向量加法为两多项式相加，满足
- 封闭性：任意两个不大于 $n$ 阶的多项式相加仍然为不大于 $n$ 阶的多项式。
- 交换律：多项式相加显然满足交换律。
- 零向量：常数 0 可以看做一个 0 阶多项式，任何多项式与之相加都不改变。
- 逆向量：把任意多项式乘以 $-1$ 就得到它的逆向量，任意多项式与其逆向量相加等于 0。
定义向量数乘为多项式乘以常数，显然也满足数乘的各项要求，不再赘述。
另一个重要的向量空间，是函数空间（function space）。
例 2 函数空间
从任何集合 $A$ 到域 $\mathbb{F}$ 的全体函数的集合 $F := \{f \mid f: A \to \mathbb{F} \}$ 构成一个 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，称为 $\mathbb{F}$ 在 $A$ 上的 函数空间。函数空间中两个向量的加法定义为，对于任何 $x \in A$ 和函数（即向量）$f, g\in F$，有 $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$；数乘定义为，对于任何标量 $a \in \mathbb{F}$，$x \in A$ 和函数 $f \in F$，有 $(af)(x)=af(x)$。
特别地，实数到实数、复数到复数、实数到复数等的函数都可以构成线性空间；把函数限制在连续函数、可导函数等条件下也依然构成线性空间。更特别地，复数域上的归一化可导函数，构成了复数域上的希尔伯特空间希尔伯特空间，这是一种无穷维的特殊向量空间，是量子力学的基础概念，我们将会在将来详细讨论。
未完成：链接：量子力学中的希尔伯特空间
注意向量空间的定义并不需要包含内积（点乘）的概念，但我们可以在其基础上额外定义内积，这样的空间叫做内积空间，留到以后介绍。除了内积，我们可以把 “几何向量的运算” 和 “线性相关性” 中介绍的概念都拓展到一般的向量空间中，这里不再重复。
习题 2 列向量
我们把 $N$ 个复数 $c_1, \dots, c_N$ 按顺序排成一列（或一行，下同），叫做列向量（或行向量，下同）。列向量可以看成是 $N \times 1$ 的矩阵。给它们定义通常意义的加法和数乘运算，这样所有列向量可以构成一个 $N$ 维向量空间。注意由于我们使用了复数，即使 $N \leqslant 3$ 时我们也无法将这些向量与几何向量对应起来。
如果我们将基底取为
$$
\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix} , \dots, \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix} ~
$$
那么显然任意列向量 $ \begin{pmatrix}c_1 \\ \vdots \\ c_N\end{pmatrix} $ 的坐标就是有序实数 $c_1, \dots, c_N$。但我们也可以取其他基底，这时坐标就会改变。所以再次强调坐标和向量本身是不同的。我们将会在向量空间的表示中详细区分向量本身和向量的坐标这两个概念。
习题 3
证明例 1 中多项式空间是 $n+1$ 维空间，$x^k$（$k = 0, \dots, n$）是一组基底（提示：证明它们线性无关，可以表示空间中的任意向量）。
2. 线性组合
类比几何向量，我们也可以定义向量的线性组合：
定义 2 线性组合
对于向量空间 $V$，其中的两个向量 $v, w \in V$ 的线性组合为
$$
a v + b w ~,
$$
其中 $a, b \in \mathbb{F}$。
我们可以把加法和数乘的封闭性整合成线性组合的封闭性。
1. ^ 一些文献中也叫 “闭合”