列向量

贡献者： Giacomo

1. 列向量

　　几何向量的坐标让我们可以以一个全新的视角看待向量这个概念，我们可以把数组 $(a_{1}, \dots, a_{n})$ 称为一个向量 $a$ ；由于我们常常会把它竖着记为

\begin{matrix} (1) & (\begin{matrix} a_{1} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}), \end{matrix}

这种向量被称为列向量，

n

被称为

a

的维度，

a_{i}

被称为

a

的第

i

坐标¹。对于列向量来说，存在一组特别的基底

{e_{i}}_{i = 1}^{n}

，称为标准基底，其中

e_{i}

是第

i

坐标为

1

，其他坐标为

0

的列向量，因此任何一个列向量都可以写成

\begin{matrix} (2) & a = a_{1} e_{1} + \dots + a_{n} e_{n} \end{matrix}

的形式。

　　第 $i$ 坐标 $a_{i}$ 的取值可以和几何向量一样取实数 $R$ ，也可以取一些其他的数，比如复数 $C$ 。方便起见，我之后只考虑实向量， $n$ 维向量就是 $n$ 维空间的 $R^{n}$ 上的一点。

未完成：检查是否定义过

n

维空间的

R^{n}

未完成：数集的定义和链接

　　实数取值的 $2$ 维（或者 $3$ 维）列向量，等价于选取了坐标系的几何向量——由标准基底的存在，列向量并不是几何向量的推广。几何向量和列向量都是更一般的向量的特殊情况。

　　如果把向量 “横过来”，我们就得到了行向量，

\begin{matrix} (3) & (\begin{matrix} a_{1} & \dots & a_{n} \end{matrix}), \end{matrix}

（注意，一般

(a_{1}, \dots, a_{n})

表示的是列向量，区别在于逗号）。

　　行向量和列向量的定义 “本身” 没有任何区别，对于某个外星人而言完全可以把这两个符号反过来；真正重要的是行向量和列向量之间的运算：考虑一个 $n$ 维行向量 $a$ 和列向量 $b$ ，我们定义 $a$ 乘 $b$ 为

\begin{matrix} (4) & a b = (\begin{matrix} a_{1} & \dots & a_{n} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{1} \\ \dots \\ b_{n} \end{matrix}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}, \end{matrix}

是一个数。

　　注： $l$ 是 left 的首字母，意味着从左边乘。

　　从这个角度来说，行向量是 “列向量的函数”：

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} l_{a} : R^{n} & \to R \\ b & \mapsto a b = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}, \end{aligned} \end{matrix}

未完成：再检查是否定义过映射 “

\to

”，如果没有就把《数学基础》提到《微积分》之前，或者新开一个 part？

　　不过，正如我们之前提过的——“行向量和列向量的定义‘本身’没有任何区别”，因此反过来看列向量也是 “行向量的函数”：

\begin{matrix} (6) & r_{b} (a) = a b = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}, \end{matrix}

注：

r

是 right 的首字母，意味着从右边乘。

　　我们可以通过转置把行/列向量相互转化，考虑列向量 $a = (\begin{matrix} a_{1} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$ ，它的转置记为 $a^{T}$ （或者 $a^{⊤}$ 、 $^{t} a$ ）是行向量

\begin{matrix} (7) & (\begin{matrix} a_{1} & \dots & a_{n} \end{matrix}) . \end{matrix}

未完成：添加到 Conven.tex

1. ^ 数学中没有规定一定要从 $1$ 开始计数，也可以从 $0$ 开始。