贡献者： Giacomo
- 本文处于草稿阶段。
- 本文缺少预备知识，初学者可能会遇到困难。
1. 列向量
几何向量的坐标让我们可以以一个全新的视角看待向量这个概念，我们可以把数组 $(a_1, \cdots, a_n)$ 称为一个向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $；由于我们常常会把它竖着记为
\begin{equation}
\begin{pmatrix}a_1 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} ~,
\end{equation}
这种向量被称为
列向量，$n$ 被称为 $a$ 的
维度，$a_i$ 被称为 $a$ 的第 $i$ 坐标
1。对于列向量来说，存在一组特别的基底 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i = 1}^n$，称为
标准基底，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$ 是第 $i$ 坐标为 $1$，其他坐标为 $0$ 的列向量，因此任何一个列向量都可以写成
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} = a_1 \boldsymbol{\mathbf{e}} _1 + \cdots + a_n \boldsymbol{\mathbf{e}} _n~
\end{equation}
的形式。
第 $i$ 坐标 $a_i$ 的取值可以和几何向量一样取实数 $\mathbb{R}$，也可以取一些其他的数，比如复数 $\mathbb{C}$。方便起见，我之后只考虑实向量，$n$ 维向量就是 $n$ 维空间的 $\mathbb{R}^n$ 上的一点。
未完成：检查是否定义过 $n$ 维空间的 $\mathbb{R}^n$
未完成：数集的定义和链接
实数取值的 $2$ 维（或者 $3$ 维）列向量，等价于选取了坐标系的几何向量——由标准基底的存在，列向量并不是几何向量的推广。几何向量和列向量都是更一般的向量的特殊情况。
2. 行向量
如果把向量 “横过来”，我们就得到了行向量，
\begin{equation}
\begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{pmatrix} ~,
\end{equation}
（注意，一般 $(a_1, \cdots, a_n)$ 表示的是列向量，区别在于逗号）。
行向量和列向量的定义 “本身” 没有任何区别，对于某个外星人而言完全可以把这两个符号反过来；真正重要的是行向量和列向量之间的运算：考虑一个 $n$ 维行向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 和 列向量 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $，我们定义 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 乘 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol{\mathbf{b}} = \begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}b_1 \\ \cdots \\ b_n\end{pmatrix} = \sum_{i = 1}^n a_i b_i~,
\end{equation}
是一个数。
注：$l$ 是 left 的首字母，意味着从左边乘。
从这个角度来说，行向量是 “列向量的函数”：
\begin{equation}
\begin{aligned}
l_{ \boldsymbol{\mathbf{a}} }: \mathbb{R}^n &\to \mathbb{R} \\
\boldsymbol{\mathbf{b}} &\mapsto \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol{\mathbf{b}} = \sum_{i = 1}^n a_i b_i~,
\end{aligned}
\end{equation}
未完成：再检查是否定义过映射 “$\to$”，如果没有就把《数学基础》提到《微积分》之前，或者新开一个 part？
不过，正如我们之前提过的——“行向量和列向量的定义‘本身’没有任何区别”，因此反过来看列向量也是 “行向量的函数”：
\begin{equation}
r_{ \boldsymbol{\mathbf{b}} }( \boldsymbol{\mathbf{a}} ) = \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol{\mathbf{b}} = \sum_{i = 1}^n a_i b_i~,
\end{equation}
注：$r$ 是 right 的首字母，意味着从右边乘。
3. 转置
我们可以通过转置把行/列向量相互转化，考虑列向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} = \begin{pmatrix}a_1 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} $，它的转置记为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} ^T$（或者 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} ^\top$、${}^t \boldsymbol{\mathbf{a}} $）是行向量
\begin{equation}
\begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
未完成：添加到 Conven.tex
1. ^ 数学中没有规定一定要从 $1$ 开始计数，也可以从 $0$ 开始。