矢量空间的表示

贡献者： JierPeter; addis

本文处于草稿阶段。
本文需要重新创作和整合，融入章节逻辑体系。

预备知识　基（线性代数）

　　由于矢量空间中运算的线性性，可以使用矩阵来表示任何一个矢量空间中的元素和线性变换。对于一个域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间中的矢量，我们惯例上使用一个 $n$ 行 $1$ 列的矩阵来表示，称为列向量。线性变换被表示成一个 $n\times n$ 的矩阵。这些矩阵中的元素都必须取自 $\mathbb{F}$。

　　需要注意的是，这些表示都依赖于该矢量空间的基的选取。

1. 用基向量来表示向量和线性变换

　　给定域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 和它的一个基 $\{{e}_i\}_{i=1}^{n}$。由于 $V$ 中的每一个向量都可以唯一地表示成基向量的线性组合，因此我们可以用线性组合的系数来构成一个列向量，作为这个向量在基 $\{{e}_i\}_{i=1}^{n}$ 下的坐标。比如，向量 $a_1 {e}_1+\cdots+a_n {e}_n$ 在这个基下的坐标就是

\begin{equation} \begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix} ~. \end{equation}

基的选择不同，同一个向量的坐标也就不一样。

　　在研究线性变换的时候，我们只需要关注线性变换对基向量的变换，就可以据此计算出任意向量的线性变换。如果某一个线性变换 $T$ 把基向量 ${e}_i$ 变换成 $a_{i1} {e}_1+\cdots+a_{in} {e}_n$，那么我们可以在这个基下把 $T$ 表示成一个矩阵：

\begin{equation} M= \begin{pmatrix}a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}\\ a_{21},a_{22},\cdots,a_{2n}\\ \vdots\ddots\vdots\\ a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nn}\end{pmatrix} ~. \end{equation}

　　这样，如果把 ${v}$ 的坐标是列向量 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} $，那么 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{c}} $ 就是 $T{v}$ 的坐标。

　　同样地，线性变换的矩阵表示，也依赖于基的选取。