矢量空间的表示

贡献者： JierPeter; addis

本文处于草稿阶段。
本文需要重新创作和整合，融入章节逻辑体系。

预备知识　基（线性代数）

　　由于矢量空间中运算的线性性，可以使用矩阵来表示任何一个矢量空间中的元素和线性变换。对于一个域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间中的矢量，我们惯例上使用一个 $n$ 行 $1$ 列的矩阵来表示，称为列向量。线性变换被表示成一个 $n \times n$ 的矩阵。这些矩阵中的元素都必须取自 $F$ 。

　　需要注意的是，这些表示都依赖于该矢量空间的基的选取。

1. 用基向量来表示向量和线性变换

　　给定域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 和它的一个基 ${e_{i}}_{i = 1}^{n}$ 。由于 $V$ 中的每一个向量都可以唯一地表示成基向量的线性组合，因此我们可以用线性组合的系数来构成一个列向量，作为这个向量在基 ${e_{i}}_{i = 1}^{n}$ 下的坐标。比如，向量 $a_{1} e_{1} + \dots + a_{n} e_{n}$ 在这个基下的坐标就是

\begin{matrix} (1) & (\begin{matrix} a_{1} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}) . \end{matrix}

基的选择不同，同一个向量的坐标也就不一样。

　　在研究线性变换的时候，我们只需要关注线性变换对基向量的变换，就可以据此计算出任意向量的线性变换。如果某一个线性变换 $T$ 把基向量 $e_{i}$ 变换成 $a_{i 1} e_{1} + \dots + a_{i n} e_{n}$ ，那么我们可以在这个基下把 $T$ 表示成一个矩阵：

\begin{matrix} (2) & M = (\begin{matrix} a_{11}, a_{12}, \dots, a_{1 n} \\ a_{21}, a_{22}, \dots, a_{2 n} \\ ⋮ ⋱ ⋮ \\ a_{n 1}, a_{n 2}, \dots, a_{n n} \end{matrix}) . \end{matrix}

　　这样，如果把 $v$ 的坐标是列向量 $c$ ，那么 $M c$ 就是 $T v$ 的坐标。

　　同样地，线性变换的矩阵表示，也依赖于基的选取。