泛函与线性泛函

贡献者：零穹; addis

预备知识　向量空间

　　¹泛函是线性（向量）空间中的数值函数。泛函的英文单词为 “functional”,后缀 “-al” 在这里表示 “属于，像，相关的”²。因此，“functional” 就指代与函数相关的对象。而 “泛” 在这里的中文的意思是 “泛指” 的意思，即比 “函数” 更广的函数。事实上，“泛函” 完美反映了泛函本身的定义。这个 “更广” 广在泛函的定义空间不再特指数构成的线性空间——数域，而是更一般的线性空间。

　　从泛函的定义，就能够避免现存的大多数误解：即把泛函理解作函数的函数。事实上这一说法不光理解错误，表述也是错误的。稍微正确一点的表述是函数（线性）空间的函数，然而这只是泛函的特殊情形。真正正确的理解是线性空间中的数值函数。当然，由于大多数人都没有接触过线性空间，因此这一误解也是正常的。因此，在继续本节的内容之前，读者不得不先熟悉线性空间的概念。

　　本节将给出泛函的具体定义，并将注意力集中在更重要的线性泛函的情形。

1. 泛函和线性泛函

定义 1　泛函

　　设 $L$ 是定义在数域 $F$ 上的线性空间，则称 $f : L \to F$ 是 $L$ 上的泛函（functional）。

例 1　函数是泛函

　　当 $L = F$ 时， $L$ 上的泛函就是我们熟知的函数（function）。

定义 2　可加，齐次，共轭齐次

　　设 $f$ 是线性空间 $(L, F)$ 上的泛函。若 $\forall x, y \in L$ ，成立

\begin{matrix} (1) & f (x + y) = f (x) + f (y), \end{matrix}

则称

f

是可加的（additivity）。

　　若对任意 $x \in L, α \in F$ ，成立

\begin{matrix} (2) & f (α x) = α f (x), \end{matrix}

则称

f

是齐次的（homogeneous）。

　　若 $f$ 是线性空间 $(L, C)$ 上的泛函，且对任意 $α \in C, x \in L$ ，成立

\begin{matrix} (3) & f (α x) = \overset{―}{α} f (x), \end{matrix}

则称

f

是共轭齐次的（conjugate homogeneous），其中

\overset{―}{α}

是

α

的共轭复数。

定义 3　线性泛函，

　　可加齐次泛函称为线性泛函（linear functional）。可加共轭齐次泛函称为共轭线性泛函（conjugate linear functional）。

2. 线性泛函的例子

例 2　算术空间上的泛函

　　设 $R^{n}$ 是 $n$ 维算术空间，设 $x \in R^{n}$ 为 $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ 。设 $a = (a_{1}, \dots, a_{n})$ 是 $n$ 个确定数的任意数组。则

\begin{matrix} (4) & f (x) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i} \end{matrix}

是

R^{n}

中的线性泛函。

　　而对 $x \in C^{n}$ ，

\begin{matrix} (5) & f (x) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} {\overset{―}{x}}_{i} \end{matrix}

是

C^{n}

中的共轭线性泛函。

例 3　积分是线性泛函

　　积分

\begin{matrix} (6) & I [x] = \int_{a}^{b} x (t) d t, \overset{―}{I} [x] = \int_{a}^{b} \overset{―}{x} (t) d t \end{matrix}

分别是区间

[a, b]

上的所有连续函数构成的空间

C [a, b]

上的线性泛函与（复空间

C [a, b]

中的）共轭线性泛函。

例 4　

　　更一般的，设 $y_{0} \in C [a, b]$ ，则对任意 $x \in C [a, b]$ ，

\begin{matrix} (7) & F (x) = \int_{a}^{b} x (t) y_{0} (t) d t, \overset{―}{F} [x] = \int_{a}^{b} \overset{―}{x} (t) y_{0} (t) d t \end{matrix}

分别是线性泛函和（复空间

C [a, b]

中的）共轭线性泛函。

例 5　

　　 $δ_{t_{0}} (x) = x (t_{0})$ 是 $C [a, b]$ 上的线性泛函，其通常写作

\begin{matrix} (8) & δ_{t_{0}} (x) = \int_{a}^{b} x (t) δ (t - t_{0}) d t . \end{matrix}

其中

δ

“函数” 的定义见狄拉克 delta 函数。

1. ^ 本文参考 [1]。
2. ^ 见 https://www.etymonline.com/cn/word/-al

[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版

泛函与线性泛函

1. 泛函和线性泛函

定义 1 泛函

例 1 函数是泛函

定义 2 可加，齐次，共轭齐次

定义 3 线性泛函，