贡献者： 零穹
1泛函是线性（向量）空间中的数值函数。泛函的英文单词为 “functional”,后缀 “-al” 在这里表示 “属于，像，相关的”2。因此，“functional” 就指代与函数相关的对象。而 “泛” 在这里的中文的意思是 “泛指” 的意思，即比 “函数” 更广的函数。事实上，“泛函” 完美反映了泛函本身的定义。这个 “更广” 广在泛函的定义空间不再特指数构成的线性空间——数域，而是更一般的线性空间。
从泛函的定义，就能够避免现存的大多数误解：即把泛函理解作函数的函数。事实上这一说法不光理解错误，表述也是错误的。稍微正确一点的表述是函数（线性）空间的函数，然而这只是泛函的特殊情形。真正正确的理解是线性空间中的数值函数。当然，由于大多数人都没有接触过线性空间，因此这一误解也是正常的。因此，在继续本节的内容之前，读者不得不先熟悉线性空间的概念。
本节将给出泛函的具体定义，并将注意力集中在更重要的线性泛函的情形。
1. 泛函和线性泛函
定义 1 泛函
设 $L$ 是定义在数域 $\mathbb F$ 上的线性空间，则称 $f:L\rightarrow\mathbb F$ 是 $L$ 上的泛函（functional）。
例 1 函数是泛函
当 $L=\mathbb F$ 时，$L$ 上的泛函就是我们熟知的函数（function）。
定义 2 可加，齐次，共轭齐次
设 $f$ 是线性空间 $(L,\mathbb F)$ 上的泛函。若 $\forall x,y\in L$，成立
\begin{equation}
f(x+y)=f(x)+f(y),~
\end{equation}
则称 $f$ 是
可加的（additivity）。
若对任意 $x\in L,\alpha\in\mathbb F$，成立
\begin{equation}
f(\alpha x)=\alpha f(x),~
\end{equation}
则称 $f$ 是
齐次的（homogeneous）。
若 $f$ 是线性空间 $(L,\mathbb C)$ 上的泛函，且对任意 $\alpha\in\mathbb C,x\in L$，成立
\begin{equation}
f(\alpha x)=\overline\alpha f(x),~
\end{equation}
则称 $f$ 是
共轭齐次的（conjugate homogeneous），其中 $\overline\alpha$ 是 $\alpha$ 的共轭复数。
定义 3 线性泛函，
可加齐次泛函称为线性泛函（linear functional）。可加共轭齐次泛函称为共轭线性泛函（conjugate linear functional）。
2. 线性泛函的例子
例 2 算术空间上的泛函
设 $\mathbb R^n$ 是 $n$ 维算术空间，设 $x\in\mathbb R^n$ 为 $x=(x_1,\cdots,x_n)$。设 $a=(a_1,\cdots,a_n)$ 是 $n$ 个确定数的任意数组。则
\begin{equation}
f(x)=\sum_{i=1}^n a_ix_i~
\end{equation}
是 $\mathbb R^n$ 中的线性泛函。
而对 $x\in\mathbb C^n$，
\begin{equation}
f(x)=\sum_{i=1}^n a_i\overline x_i~
\end{equation}
是 $\mathbb C^n$ 中的共轭线性泛函。
例 3 积分是线性泛函
积分
\begin{equation}
I[x]=\int_a^b x(t) \,\mathrm{d}{t} ,\quad \overline I[x]=\int_a^b \overline x(t) \,\mathrm{d}{t} ~
\end{equation}
分别是区间 $[a,b]$ 上的所有连续函数构成的空间 $C[a,b]$ 上的线性泛函与（复空间 $C[a,b]$ 中的）共轭线性泛函。
例 4
更一般的，设 $y_0\in C[a,b]$，则对任意 $x\in C[a,b]$，
\begin{equation}
F(x)=\int_a^b x(t)y_0(t) \,\mathrm{d}{t} ,\quad\overline{F}[x]=\int_a^b \overline{x}(t)y_0(t) \,\mathrm{d}{t} ~
\end{equation}
分别是线性泛函和（复空间 $C[a,b]$ 中的）共轭线性泛函。
例 5
$\delta_{t_0}(x)=x(t_0)$ 是 $C[a,b]$ 上的线性泛函，其通常写作
\begin{equation}
\delta_{t_0}(x)=\int_a^b x(t)\delta(t-t_0) \,\mathrm{d}{t} .~
\end{equation}
其中 $\delta$ “函数” 的定义见狄拉克 delta 函数
。
1. ^ 本文参考 [1]。
2. ^ 见 https://www.etymonline.com/cn/word/-al
[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版