贡献者： addis; JierPeter
1. 矢量分析公式列表
令 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{b}} , \boldsymbol{\mathbf{c}} , \boldsymbol{\mathbf{d}} $ 为 $\mathbb{R}^3$ 中的可微矢量场，$\phi$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中的可微标量场，$\nabla$ 为矢量微分算子 $\hat{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }\partial/\partial{x}+\hat{ \boldsymbol{\mathbf{y}} }\partial/\partial{y}+\hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} }\partial/\partial{z}$。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot( \boldsymbol{\mathbf{b}} \times \boldsymbol{\mathbf{c}} )= \boldsymbol{\mathbf{b}} \cdot( \boldsymbol{\mathbf{c}} \times \boldsymbol{\mathbf{a}} )= \boldsymbol{\mathbf{c}} \cdot( \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{b}} )~.
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} \times( \boldsymbol{\mathbf{b}} \times \boldsymbol{\mathbf{c}} )=( \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{c}} ) \boldsymbol{\mathbf{b}} -( \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{b}} ) \boldsymbol{\mathbf{c}} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
( \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{b}} )\cdot( \boldsymbol{\mathbf{c}} \times \boldsymbol{\mathbf{d}} )=( \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{c}} )( \boldsymbol{\mathbf{b}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{d}} )-( \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{d}} )( \boldsymbol{\mathbf{b}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{c}} )~.
\end{equation}
\begin{equation}
\nabla\times(\nabla\phi)= \boldsymbol{\mathbf{0}} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\nabla\cdot(\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{a}} )=0~.
\end{equation}
\begin{equation}
\nabla\times(\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{a}} )=\nabla(\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{a}} )-(\nabla\cdot\nabla) \boldsymbol{\mathbf{a}} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\nabla\cdot(\phi \boldsymbol{\mathbf{a}} )=(\nabla\phi)\cdot \boldsymbol{\mathbf{a}} +\phi\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{a}} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\nabla\times(\phi \boldsymbol{\mathbf{a}} )=(\nabla\phi)\times \boldsymbol{\mathbf{a}} +\phi\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{a}} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\nabla( \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{b}} )=( \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot\nabla) \boldsymbol{\mathbf{b}} + \boldsymbol{\mathbf{b}} \times(\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{a}} )+( \boldsymbol{\mathbf{b}} \cdot\nabla) \boldsymbol{\mathbf{a}} + \boldsymbol{\mathbf{a}} \times(\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{b}} )~.
\end{equation}
\begin{equation}
\nabla\cdot( \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{b}} )= \boldsymbol{\mathbf{b}} \cdot(\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{a}} )- \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot(\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{b}} )~.
\end{equation}
\begin{equation}
\nabla\times( \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{b}} )=( \boldsymbol{\mathbf{b}} \cdot\nabla) \boldsymbol{\mathbf{a}} -( \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot\nabla) \boldsymbol{\mathbf{b}} + \boldsymbol{\mathbf{a}} (\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{b}} )- \boldsymbol{\mathbf{b}} (\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{a}} )~.
\end{equation}
2. 标量场和矢量场
场（field）是指实线性空间 $V$1
标量场
\begin{equation}
\Phi=\Phi(x,y,z)~.
\end{equation}
$\Phi$ 的数值是空间位置的函数
等值面
\begin{equation}
\Phi=C~.
\end{equation}
例如气压场、温度场。
矢量场（详见??）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} (x,y,z)~,
\end{equation}
$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的大小、方向是空间位置的函数。
例如速度场 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $、电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $。
场线：有方向的曲线，其上每一点切线方向都与 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的方向一致。
场管：由一束场线围城的管状区域。
3. 标量场的梯度
方向微商
\begin{equation}
\frac{\partial \Phi}{\partial l}=\lim_{\Delta l \to 0}\frac{\Delta \Phi}{\Delta l}~,
\end{equation}
标量场 $\Phi$ 在 P 点沿 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{l}} $ 方向的方向微商。
标量场 $\Phi$ 的梯度
沿方向微商最大的方向（即 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 方向）。
\begin{equation}
\boldsymbol\nabla \Phi = \frac{\partial \Phi}{\partial n}~,
\end{equation}
$\Delta \Phi$ 方向总于 $\Phi$ 的等值面垂直。
标量场的梯度是矢量场
电势 $U$ 是标量场，其负梯度 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 是矢量场。
4. 矢量场的通量和散度、高斯定理
定义
通量
\begin{equation}
\Phi_A=\iint\limits_{(S)} \boldsymbol{\mathbf{A}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } = \iint\limits_{(S)} A\cos\theta dS~.
\end{equation}
流速场、流量、电通量、磁通量。
散度
\begin{equation}
div \boldsymbol{\mathbf{A}} =\nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} =\lim_{\Delta V \to 0}\frac{\Phi}{\Delta V}~,
\end{equation}
矢量场的散度是标量场。
坐标表示
\begin{equation}
\nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} = \frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\oint \boldsymbol{\mathbf{A}} =\iiint_V \nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} dV~.
\end{equation}
矢量场通过任意闭合曲面 S 的通量等于它向包围体积 V 内的散度积分。
5. 矢量场的环量和旋度、Stokes 定理
定义
环量 $\Gamma$
\begin{equation}
\Gamma=\oint_L \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot d \boldsymbol{\mathbf{l}} ~,
\end{equation}
矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 沿闭合回路线积分。
$\delta S$ 为闭线 L 包围面积，$ \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 为右旋单位法向量。
旋度 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} $
\begin{equation}
rot \boldsymbol{\mathbf{A}} =\nabla \times \boldsymbol{\mathbf{A}} =\lim_{\Delta S \to 0} \frac{\oint_L \boldsymbol{\mathbf{A}} d \boldsymbol{\mathbf{l}} }{\Delta S}~,
\end{equation}
矢量场的旋度仍是矢量场。
坐标表示
\begin{equation}
\nabla \times \boldsymbol{\mathbf{A}} =
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{i}} & \boldsymbol{\mathbf{j}} & \boldsymbol{\mathbf{k}} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\
A_x & A_y & A_z
\end{vmatrix}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\nabla = \boldsymbol{\mathbf{i}} \frac{\partial}{\partial x}+ \boldsymbol{\mathbf{j}} \frac{\partial}{\partial}y + \boldsymbol{\mathbf{k}} \frac{\partial}{\partial z}~.
\end{equation}
stokes 定理
\begin{equation}
\oint_L \boldsymbol{\mathbf{A}} d \boldsymbol{\mathbf{l}} =\iint_S (\nabla \times \boldsymbol{\mathbf{A}} )\cdot d \boldsymbol{\mathbf{S}} ~.
\end{equation}
矢量场在任意闭合回路 L 上的环量等于它为边界的曲面 S 上旋度的积分。
6. 矢量场的分类
有散场和无散场
散度为 0，即无源，为无散场；散度不为 0，即有源，为有散场。由
\begin{equation}
\nabla\cdot\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} =0~
\end{equation}
知，任何矢量场的旋度永远是无散场。
任何无散场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 可表达成某矢量场的旋度
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} =\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ,\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} =0~.
\end{equation}
有旋场和无旋场
旋度为 0，为无旋场;反之为有旋场。
\begin{equation}
\nabla\times\nabla\Phi=0~,
\end{equation}
任何标量场的梯度永远是无旋场。
任何无旋场 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 可表示为某个标量场 $\Phi$ 的梯度
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} =\nabla\Phi,\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} =0~.
\end{equation}
谐和场
谐和场为某一矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 在某空间内既无散又无旋，由于其无旋，所以可以由势场表示：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} =\nabla\Phi,\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} =0~.
\end{equation}
同样由于其为无散场，所以有：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} =\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ,\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} =0~.
\end{equation}
故可以导出 Laplace 方程：
\begin{equation}
\nabla\cdot\nabla=\nabla^2~,
\end{equation}
谐和场的势函数满足 Laplace 方程。
1. ^ 或者更一般地，流形 $M$。实线性空间是流形的特例。