群作用

贡献者： JierPeter; Giacomo; addis

预备知识　群的同态与同构

1. 群在自身上的作用

　　给定一个群 $G$ ，我们任意拿出一个元素 $a \in G$ ，用 $a$ 去左乘 $G$ 中的所有元素（包括 $a$ 自己），那么我们可以把 $a$ 看成一种 $G$ 到自身上的映射： $f_{a} : G \to G$ ，使得对于任意 $x \in G$ ， $f_{a} (x) = a x$ 。

　　群 $G$ 中的每一个元素都可以像这样生成一个映射，把这些映射全部放在一起，我们也可以整体上看成一个映射 $f : G \times G \to G$ ，满足：对于任意的 $a, x \in G$ ，有 $f (a, x) = f_{a} (x) = a x$ 。

2. 群作用

　　更一般地，对于任何集合 $X$ ，群 $G$ 中每个元素都可以代表 $X \to X$ 的一个映射。我们当然可以任意规定这些映射，但如果这些映射满足一定条件的话，就会构造出一个很有意思的结构：

定义 1　群作用

　　设群 $G$ 和集合 $X$ ， $G$ 中每个元素都是 $X$ 到自身的映射，记 $g \in G$ 将 $x \in X$ 映射为 $g \cdot x \in X$ 。如果所有这些映射满足满足下面两条公理：

结合律：对于 $g_{1}, g_{2} \in G, x \in X$ ， $(g_{1} g_{2}) \cdot x = g_{1} \cdot (g_{2} \cdot x)$ 。
单位元是恒等映射： $G$ 的单位元 $e$ 将任何 $x \in X$ 映射到自身： $e \cdot x = x$ 。

　　那么我们称群 $G$ 作用（acts）于集合 $X$ 上。

　　群作用可以像定义里一样记为 $g \cdot x$ ，也可以记为 $X$ 到 $X$ 的若干映射 $f_{g} (x) = g \cdot x$ ，还可以整体上看成 $G \times X$ 到 $X$ 的一个映射 $f (g, x) = g \cdot x$ 。

3. 群作用的例子

例 1　平凡作用

　　（不做任何变换的）群作用 $G \times X \to X, (g, x) \mapsto x$ 被称为平凡作用。

　　注：把 trival 翻译平凡并不贴切，平庸是更合适的翻译。

例 2　平移作用

　　本条子节 1 定义的映射，就是群在自身集合上的作用，称为左平移作用。相应地，我们也可以让元素 $a$ 对 $x$ 的作用是 $x a^{- 1}$ ，这样的作用被称为右平移。

　　 证明： $G \times G \to G, (a, x) \mapsto x a^{- 1}$ 满足对任意 $a, b \in G$ ，

\begin{matrix} (1) & (a b) \cdot x = x (a b)^{- 1} = x b^{- 1} a^{- 1} = (b \cdot x) a^{- 1} = a \cdot (b \cdot x) . \end{matrix}

证明结束。

　　可想而知， $(a, x) \mapsto x a$ 并不满足群作用的定义。

　　由群运算的唯一性（消去律），平移作用是群在自身上的（集合意义上的）双射。因此每个平移作用都可以看成一个置换。这么一来，我们还得到一个重要的性质：

定理 1　Cayley 定理

　　任何群 $G$ 都同构于其自身的置换群 $S_{G}$ 的一个子群。

例 3　伴随作用

　　对于任意 $a \in G$ ，令 $f_{a} : G \to G$ 满足 $\forall x \in G, f_{a} (x) = a x a^{- 1}$ ，则这些映射定义了一个群 $G$ 在集合 $G$ 上的作用，称为伴随作用。 $f_{a} (x)$ 称为 $x$ 的共轭元素。

　　在群的同态与同构文章中我们知道，全体伴随作用构成群的内自同构群，也称共轭自同构群。

例 4　线性变换

　　参考线性变换。我们已经知道， $n$ 阶非奇异矩阵配上乘法可以构成一个群；相应地，满秩线性变换（可逆线性变换）配上映射的复合运算构成一个群。非奇异矩阵乘法是给定了基向量以后，满秩线性变换的复合的表示。

　　取 $n$ 维实数向量空间 $R^{n}$ ，那么 $R^{n}$ 是向量的集合； $GL (n, R)$ 是 $R^{n}$ 上可逆线性变换的群，显然 $GL (n, R)$ 按照通常的线性变换定义，构成了在 $R^{n}$ 上的一个作用。

例 5　置换矩阵

　　参考定义 1 ， $ρ_{perm} (π) := R_{π}$ 定义了 $R^{n}$ 上的一个 $S_{n}$ -作用。我们可以推广这个定义，考虑向量空间 $V$ 的 $n$ 次笛卡尔幂空间 $V^{\times n}$ 上存在一个 $n$ 阶对称群 $S_{n}$ 的群作用：

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} ρ_{perm} (σ) : V^{\times n} & \to V^{\times n}, \\ (v_{1}, \dots, v_{n}) & \mapsto (v_{σ (1)}, \dots, v_{σ (n)}), \end{aligned} \end{matrix}

被称为自然置换作用（或者自然置换表示，参考群表示）。此时

ρ_{perm} (σ)

是一个

n \times n

的分块矩阵，矩阵元为零矩阵或者恒等矩阵。

　　另一方面 $π \mapsto det (π) ρ_{perm} (π)$ 也构成一个群作用，但它没有一个特定的名字。

4. 群作用的性质

定义 2　不动点

　　设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上。如果 $x \in X$ 在任意 $g \in G$ 的作用下都不变，即 $g \cdot x = x$ ，那么称 $x$ 为该群作用的一个不动点（fixed point）。

　　定义不动点集为 $X^{G} := {Fix}_{G} (X) := {x \in X ∣ g \cdot x = x, \forall g \in G}$ 。

定义 3　轨道

　　设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上。

　　固定 $X$ 中的一个元素 $x$ ，那么每个 $G$ 中元素 $g$ 都把 $x$ 映射到某个 $f_{g} (x) \in X$ 上。所有能这样被映射到的元素 $f_{g} (x)$ 构成了 $X$ 的一个子集，称为元素 $x$ 的轨道（orbit），记为 $G \cdot x$ ¹。

习题 1　

　　设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上。给定 $x \in X$ ，定义 $F_{x} = {g \in G ∣ g \cdot x = x}$ 。证明 $F_{x}$ 构成群（例 2 ）。

定义 4　迷向子群

　　称习题 1 中的 $F_{x}$ 为 $x$ 的在给定群作用下的迷向子群（isotropy subgroup）或者稳定化子群（stablizer subgroup），也可简称稳定化子（stablizer）。

定义 5　

　　如果对于任何 $x \in X$ ， $x$ 的轨道都是整个 $X$ ，那么我们称这个作用是可递的（transitive），此时 $X$ 就是 $G$ 的齐性空间。如果对于任何 $x \in X$ ， $x$ 的轨道只是 ${x}$ ，那么这个作用就是平凡（trivial）的。

例 6　置换群的可递子群

　　置换群 $S_{n}$ 显然是在 $n$ 元集合上的群作用，其子群 $G$ 是可递的，当且仅当 $G$ 对 $n$ 元集合的作用是可递的。

　　如果对于任何 $x \in X$ ，任何 $g \in G - {e}$ ，都使得 $g \cdot x \neq x$ ，那么我们说这个作用是有效的。有效性等价于说任何 $x \in X$ 的迷向子群都是 ${e}$ 。

　　在之前的例子中，平移作用既是可递的，又是有效的。但是伴随作用不能保证有效性和可递性，具体情况要看群的结构性质。全体可逆线性变换构成的群作用在非零向量空间上，这个作用是可递的，也是有效的——注意一定得是非零向量空间，把零向量排除在外。

定理 2　

　　设群 $G$ 作用在 $X$ 上，在 $X$ 上定义关系 $\sim$ 如下： $\forall x, y \in X, x \sim y ⟺ \exists g \in G, g \cdot x = y$ ，或者说， $x \sim y$ 当且仅当 $y$ 在 $x$ 的轨道里。那么， $\sim$ 是一个等价关系。

　　由群 $G$ 的封闭性和逆元存在性分别可以证明定理 2 中关系 $\sim$ 的传递性和对称性。这个定理说明，轨道划分是一种等价类划分。

定义 6　

　　设群 $G$ 按照伴随作用，作用在自身上。

任取 $g \in G$ 和 $G$ 的子群 $H$ ，则称 $g H g^{- 1}$ 为 $H$ 的一个共轭子群（conjugate subgroup），或者说 $H$ 和 $g H g^{- 1}$ 彼此是共轭的（be conjugate to each other）。
对于 $g \in G$ ，记 $C_{g}$ 为 $g$ 在伴随作用下的轨道，称 $C_{g}$ 为 $g$ 的共轭类（conjugate class），每一个 $h \in C_{g}$ 都称为 $g$ 的共轭元素（conjugate）。
对于 $g \in G$ ，记 $C_{G} (g)$ 是 $g$ 在伴随作用下的迷向子群，称 $C_{G} (g)$ 为 $g$ 在 $G$ 中的中心化子（centralizer）。
记 $C (G) = ⋂_{g \in G} C_{G} (g)$ ，称为群 $G$ 的中心（center）。有的地方也记 $C (G) = Z (G)$ 。

　　群中心的定义也可以这么说：所有可以和 $G$ 中一切元素交换的元素构成的集合，就是 $C (G)$ 。

定理 3　共轭类等式（The Class Equation）

　　设有限群 $G$ 按照伴随作用，作用在自身上， $C_{x}$ 是该作用下 $x \in G$ 的轨道，即 $x$ 的共轭类。全体 $C_{x}$ 构成的集合（如果 $C_{x} = C_{y}$ 则视为同一个）记为 $O = {C_{i}}_{i = 1}^{n}$ 。则有：

\begin{matrix} (3) & | G | = \sum_{C \in O} | C | = | Z (G) | + \sum_{C \in O, | C | > 1} | C | . \end{matrix}

　　证明：

　　由于共轭类划分是 $G$ 上的等价类划分，故 $| G | = \sum_{C \in O} | C |$ 。

　　由 $Z (G)$ 的定义， $x \in Z (G)$ 当且仅当 $x$ 在伴随作用下不变，即 $| C_{x} | = 1 ⟺ x \in Z (G)$ 。故 $| Z (G) | = \sum_{C \in O, | C | = 1}$ ，从而得证式 3 第二个等号。

　　证毕。

定理 4　轨道-迷向子群定理

　　设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上。固定一个 $x \in X$ ，那么对于 $g, h \in G$ ， $g \cdot x = h \cdot x$ $⟺$ $g$ 和 $h$ 在迷向子群 $F_{x}$ 的同一个左陪集上。

　　证明：

　　 $g \cdot x = h \cdot x ⟺ g^{- 1} h \cdot x = x ⟺ g^{- 1} h \in F_{x} ⟺ h \in g F_{x}$ 。

　　证毕。

　　由定理 4 直接可得如下推论：

推论 1　轨道元素数与迷向子群指数

　　设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上。任取 $x \in X$ ，则其轨道中的元素数目，等于 $x$ 的迷向子群的在 $G$ 中的指数（定义 3 ）。

　　推论 1 中取 $X = G$ 、作用为伴随作用后，可得如下推论：

推论 2　

　　设有限群 $G$ 按照伴随作用，作用在自身上。任取 $x \in G$ ，则 $| C_{x} | = | G | / | C_{G} (x) |$ 。

定理 5　

　　设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上， $| G | = p^{k}$ ，其中 $p$ 是一个素数， $k$ 是一个正整数。则

\begin{matrix} (4) & | X | \equiv | {Fix}_{G} (X) | \mod p, \end{matrix}

或者说，

p ∣ (| X | - | {Fix}_{G} (X) |)

。

　　证明：

　　由拉格朗日定理（定理 3 ），易知 $G$ 的子群在 $G$ 中的指数都形如 $p^{n}$ ，其中各 $n$ 是非负整数。又由推论 1 ， $X$ 中各轨道的元素数量都形如 $p^{n}$ ，其中元素数量是 $1$ 的即不动点集合 ${Fix}_{G} (X)$ 。

　　于是 $X - {Fix}_{G} (X)$ 中各轨道的元素数量都形如 $p^{k}$ ，其中各 $k$ 为正整数。

　　证毕。

推论 3　

　　由定理 4 ， $| G | / | F_{x} | = | O_{x} |$ ，其中 $O_{x}$ 是 $x$ 的轨道。

习题 2　Burnside 引理

　　设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上。对于给定的 $g \in G$ ，记 $X^{g} = {x \in X | g \cdot x = x}$ ， $O_{x}$ 是 $x \in X$ 的轨道，那么 $| {O_{x} | x \in X} | = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} | X^{g} |$ 。就是说， $X$ 上轨道的数目，等于每个 $g \in G$ 作用后不产生效果的元素数量之平均值。证明此引理（见例 3 ）。

1. ^ 这里的 $\cdot$ 是群作用的 $\cdot$

群作用

1. 群在自身上的作用

2. 群作用

定义 1 群作用

3. 群作用的例子

例 1 平凡作用

例 2 平移作用

定理 1 Cayley 定理

例 3 伴随作用

例 4 线性变换

例 5 置换矩阵

4. 群作用的性质

定义 2 不动点

定义 3 轨道

习题 1

定义 4 迷向子群

定义 5

例 6 置换群的可递子群

定理 2

定义 6

定理 3 共轭类等式（The Class Equation）

定理 4 轨道-迷向子群定理

推论 1 轨道元素数与迷向子群指数

推论 2

定理 5

推论 3

习题 2 Burnside 引理

定义 1　群作用

例 1　平凡作用

例 2　平移作用

定理 1　Cayley 定理

例 3　伴随作用

例 4　线性变换

例 5　置换矩阵

定义 2　不动点

定义 3　轨道

习题 1　

定义 4　迷向子群

定义 5　

例 6　置换群的可递子群

定理 2　

定义 6　

定理 3　共轭类等式（The Class Equation）

定理 4　轨道-迷向子群定理

推论 1　轨道元素数与迷向子群指数

推论 2　

定理 5　

推论 3　

习题 2　Burnside 引理