贡献者： JierPeter; Giacomo; addis
1. 群在自身上的作用
给定一个群 $G$，我们任意拿出一个元素 $a\in G$，用 $a$ 去左乘 $G$ 中的所有元素（包括 $a$ 自己），那么我们可以把 $a$ 看成一种 $G$ 到自身上的映射：$f_a:G\rightarrow G$，使得对于任意 $x\in G$，$f_a(x)=ax$。
群 $G$ 中的每一个元素都可以像这样生成一个映射，把这些映射全部放在一起，我们也可以整体上看成一个映射 $f:G\times G\rightarrow G$，满足：对于任意的 $a, x\in G$，有 $f(a,x)=f_a(x)=ax$。
2. 群作用
更一般地，对于任何集合 $X$，群 $G$ 中每个元素都可以代表 $X\rightarrow X$ 的一个映射。我们当然可以任意规定这些映射，但如果这些映射满足一定条件的话，就会构造出一个很有意思的结构：
定义 1 群作用
设群 $G$ 和集合 $X$，$G$ 中每个元素都是 $X$ 到自身的映射，记 $g\in G$ 将 $x\in X$ 映射为 $g\cdot x\in X$。如果所有这些映射满足满足下面两条公理：
- 结合律：对于 $g_1, g_2\in G, x\in X$，$(g_1 g_2)\cdot x=g_1\cdot (g_2\cdot x)$。
- 单位元是恒等映射：$G$ 的单位元 $e$ 将任何 $x\in X$ 映射到自身：$e\cdot x=x$。
那么我们称群 $G$ 作用（acts）于集合 $X$ 上。
群作用可以像定义里一样记为 $g\cdot x$，也可以记为 $X$ 到 $X$ 的若干映射 $f_g(x)=g\cdot x$，还可以整体上看成 $G\times X$ 到 $X$ 的一个映射 $f(g, x)=g\cdot x$。
3. 群作用的例子
例 1 平凡作用
（不做任何变换的）群作用 $G \times X \to X, (g, x) \mapsto x$ 被称为平凡作用。
注：把 trival 翻译平凡并不贴切，平庸是更合适的翻译。
例 2 平移作用
本条子节 1 定义的映射，就是群在自身集合上的作用，称为左平移作用。相应地，我们也可以让元素 $a$ 对 $x$ 的作用是 $x a^{-1}$，这样的作用被称为右平移。
证明： $G \times G \to G, (a, x) \mapsto x a^{-1}$ 满足对任意 $a, b \in G$，
\begin{equation}
(a b) \cdot x = x (a b)^{-1} = x b^{-1} a^{-1} = (b \cdot x) a^{-1} = a \cdot (b \cdot x) ~.
\end{equation}
可想而知，$(a, x) \mapsto x a$ 并不满足群作用的定义。
由群运算的唯一性（消去律），平移作用是群在自身上的（集合意义上的）双射。因此每个平移作用都可以看成一个置换。这么一来，我们还得到一个重要的性质：
定理 1 Cayley 定理
任何群 $G$ 都同构于其自身的置换群 $S_G$ 的一个子群。
例 3 伴随作用
对于任意 $a\in G$，令 $f_a: G\rightarrow G$ 满足 $\forall x\in G, f_a(x)=axa^{-1}$，则这些映射定义了一个群 $G$ 在集合 $G$ 上的作用，称为伴随作用。$f_a(x)$ 称为 $x$ 的共轭元素。
在群的同态与同构文章中我们知道，全体伴随作用构成群的内自同构群，也称共轭自同构群。
例 4 线性变换
参考线性变换。我们已经知道，$n$ 阶非奇异矩阵配上乘法可以构成一个群；相应地，满秩线性变换（可逆线性变换）配上映射的复合运算构成一个群。非奇异矩阵乘法是给定了基向量以后，满秩线性变换的复合的表示。
取 $n$ 维实数向量空间 $\mathbb{R}^n$，那么 $\mathbb{R}^n$ 是向量的集合；$ \operatorname {GL}(n,\mathbb{R})$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上可逆线性变换的群，显然 $ \operatorname {GL}(n,\mathbb{R})$ 按照通常的线性变换定义，构成了在 $\mathbb{R}^n$ 上的一个作用。
例 5 置换矩阵
参考定义 1 ，$\rho_\text{perm}(\pi): = R_\pi$ 定义了 $\mathbb{R}^n$ 上的一个 $S_n$-作用。我们可以推广这个定义，考虑向量空间 $V$ 的 $n$ 次笛卡尔幂空间 $V^{\times n}$ 上存在一个 $n$ 阶对称群 $S_n$ 的群作用：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\rho_\text{perm}(\sigma): V^{\times n} &\to V^{\times n}~, \\
(v_1, \cdots, v_n) &\mapsto (v_{\sigma(1)}, \cdots, v_{\sigma(n)})~,
\end{aligned}
\end{equation}
被称为
自然置换作用（或者
自然置换表示，参考
群表示）。此时 $\rho_\text{perm}(\sigma)$ 是一个 $n \times n$ 的分块矩阵，矩阵元为零矩阵或者恒等矩阵。
另一方面 $\pi \mapsto\det(\pi) \rho_\text{perm}(\pi)$ 也构成一个群作用，但它没有一个特定的名字。
4. 群作用的性质
定义 2 不动点
设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上。如果 $x\in X$ 在任意 $g\in G$ 的作用下都不变，即 $g\cdot x=x$，那么称 $x$ 为该群作用的一个不动点（fixed point）。
定义不动点集为 $X^G: = \operatorname {Fix}_G(X): = \{x\in X\mid g\cdot x=x, \forall g\in G\}$。
定义 3 轨道
设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上。
固定 $X$ 中的一个元素 $x$，那么每个 $G$ 中元素 $g$ 都把 $x$ 映射到某个 $f_g(x)\in X$ 上。所有能这样被映射到的元素 $f_g(x)$ 构成了 $X$ 的一个子集，称为元素 $x$ 的轨道（orbit），记为 $G \cdot x$1。
习题 1
设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上。给定 $x\in X$，定义 $F_x=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}$。证明 $F_x$ 构成群（例 2 ）。
定义 4 迷向子群
称习题 1 中的 $F_x$ 为 $x$ 的在给定群作用下的迷向子群（isotropy subgroup）或者稳定化子群（stablizer subgroup），也可简称稳定化子（stablizer）。
定义 5
如果对于任何 $x\in X$，$x$ 的轨道都是整个 $X$，那么我们称这个作用是可递的（transitive），此时 $X$ 就是 $G$ 的齐性空间。如果对于任何 $x\in X$，$x$ 的轨道只是 $\{x\}$，那么这个作用就是平凡（trivial）的。
例 6 置换群的可递子群
置换群 $S_n$ 显然是在 $n$ 元集合上的群作用，其子群 $G$ 是可递的，当且仅当 $G$ 对 $n$ 元集合的作用是可递的。
如果对于任何 $x\in X$，任何 $g\in G-\{e\}$，都使得 $g\cdot x\not=x$，那么我们说这个作用是有效的。有效性等价于说任何 $x\in X$ 的迷向子群都是 $\{e\}$。
在之前的例子中，平移作用既是可递的，又是有效的。但是伴随作用不能保证有效性和可递性，具体情况要看群的结构性质。全体可逆线性变换构成的群作用在非零向量空间上，这个作用是可递的，也是有效的——注意一定得是非零向量空间，把零向量排除在外。
定理 2
设群 $G$ 作用在 $X$ 上，在 $X$ 上定义关系 $\sim$ 如下：$\forall x, y\in X, x\sim y \iff \exists g\in G, g\cdot x=y$，或者说，$x\sim y$ 当且仅当 $y$ 在 $x$ 的轨道里。那么，$\sim$ 是一个等价关系。
由群 $G$ 的封闭性和逆元存在性分别可以证明定理 2 中关系 $\sim$ 的传递性和对称性。这个定理说明，轨道划分是一种等价类划分。
定义 6
设群 $G$ 按照伴随作用，作用在自身上。
- 任取 $g\in G$ 和 $G$ 的子群 $H$，则称 $gHg^{-1}$ 为 $H$ 的一个共轭子群（conjugate subgroup），或者说 $H$ 和 $gHg^{-1}$彼此是共轭的（be conjugate to each other）。
- 对于 $g\in G$，记 $C_g$ 为 $g$ 在伴随作用下的轨道，称 $C_g$ 为 $g$ 的共轭类（conjugate class），每一个 $h\in C_g$ 都称为 $g$ 的共轭元素（conjugate）。
- 对于 $g\in G$，记 $C_G(g)$ 是 $g$ 在伴随作用下的迷向子群，称 $C_G(g)$ 为 $g$ 在 $G$ 中的中心化子（centralizer）。
- 记 $C(G)=\bigcap_{g\in G} C_G(g)$，称为群 $G$ 的中心（center）。有的地方也记 $C(G)=Z(G)$。
群中心的定义也可以这么说：所有可以和 $G$ 中一切元素交换的元素构成的集合，就是 $C(G)$。
定理 3 共轭类等式（The Class Equation）
设有限群$G$ 按照伴随作用，作用在自身上，$C_x$ 是该作用下 $x\in G$ 的轨道，即 $x$ 的共轭类。全体 $C_x$ 构成的集合（如果 $C_x=C_y$ 则视为同一个）记为 $O=\{C_i\}_{i=1}^n$。则有：
\begin{equation}
\left\lvert G \right\rvert = \sum_{C\in O} \left\lvert C \right\rvert = \left\lvert Z(G) \right\rvert + \sum_{C\in O, \left\lvert C \right\rvert >1} \left\lvert C \right\rvert ~.
\end{equation}
证明：
由于共轭类划分是 $G$ 上的等价类划分，故 $ \left\lvert G \right\rvert = \sum_{C\in O} \left\lvert C \right\rvert $。
由 $Z(G)$ 的定义，$x\in Z(G)$ 当且仅当 $x$ 在伴随作用下不变，即 $ \left\lvert C_x \right\rvert =1\iff x\in Z(G)$。故 $ \left\lvert Z(G) \right\rvert =\sum_{C\in O, \left\lvert C \right\rvert =1}$，从而得证式 3 第二个等号。
证毕。
定理 4 轨道-迷向子群定理
设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上。固定一个 $x\in X$，那么对于 $g, h\in G$，$g\cdot x= h\cdot x$ $\iff$ $g$ 和 $h$ 在迷向子群 $F_x$ 的同一个左陪集上。
证明：
$g\cdot x=h\cdot x\iff g^{-1}h\cdot x=x\iff g^{-1}h\in F_x\iff h\in gF_x$。
证毕。
由定理 4 直接可得如下推论：
推论 1 轨道元素数与迷向子群指数
设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上。任取 $x\in X$，则其轨道中的元素数目，等于 $x$ 的迷向子群的在 $G$ 中的指数（定义 3 ）。
推论 1 中取 $X=G$、作用为伴随作用后，可得如下推论：
推论 2
设有限群$G$ 按照伴随作用，作用在自身上。任取 $x\in G$，则 $ \left\lvert C_x \right\rvert = \left\lvert G \right\rvert / \left\lvert C_G(x) \right\rvert $。
定理 5
设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上，$ \left\lvert G \right\rvert =p^k$，其中 $p$ 是一个素数，$k$ 是一个正整数。则
\begin{equation}
\left\lvert X \right\rvert \equiv \left\lvert \operatorname {Fix}_G(X) \right\rvert \mod p~,
\end{equation}
或者说，$p\mid \left( \left\lvert X \right\rvert - \left\lvert \operatorname {Fix}_G(X) \right\rvert \right) $。
证明：
由拉格朗日定理（定理 3 ），易知 $G$ 的子群在 $G$ 中的指数都形如 $p^n$，其中各 $n$ 是非负整数。又由推论 1 ，$X$ 中各轨道的元素数量都形如 $p^n$，其中元素数量是 $1$ 的即不动点集合 $ \operatorname {Fix}_G(X)$。
于是 $X- \operatorname {Fix}_G(X)$ 中各轨道的元素数量都形如 $p^k$，其中各 $k$ 为正整数。
证毕。
推论 3
由定理 4 ，$|G|/|F_x|=|O_x|$，其中 $O_x$ 是 $x$ 的轨道。
习题 2 Burnside 引理
设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上。对于给定的 $g\in G$，记 $X^g=\{x\in X|g\cdot x=x\}$，$O_x$ 是 $x\in X$ 的轨道，那么 $|\{O_x|x\in X\}|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|$。就是说，$X$ 上轨道的数目，等于每个 $g\in G$ 作用后不产生效果的元素数量之平均值。证明此引理（见例 3 ）。
1. ^ 这里的 $\cdot$ 是群作用的 $\cdot$