贡献者： addis; Giacomo
- 本文处于草稿阶段。
- 本文需要重新创作和整合，融入章节逻辑体系。
- 需要强调线性变换是矢量的变换，矢量本身和坐标是有区别的，坐标和基底有关，所以同一个线性映射使用不同基底，线性方程组的系数不一样
1. 代数理解
从代数的角度来说，对于给出几个数，把它们分别与一些常数相乘再把积相加，得到另外几个数的的过程就叫线性变换。例如，在 “平面旋转变换” 中，直角坐标系中任意一点 $P$ 的坐标 $(x,y)$ 绕远点旋转角 $\alpha $ 以后的坐标为
\begin{equation}
\begin{cases}
x' = (\cos\alpha) x + (-\sin\alpha)y\\
y' = (\sin \alpha)x + (\cos\alpha)y~.
\end{cases}
\end{equation}
这就是一个常见的线性变换，任意给出两个实数 $x,y$，通过与常数相乘再相加的方法得到两个新的实数 $x',y'$。
有些线性变换是一一对应的，例如上面的例子中，任何一组 $x,y$，有且仅有一组 $x',y'$ 与之对应，反之亦然。在这种情况下，这个变换存在逆变换。
2. 线性变换的矩阵表示
由 $n$ 个数 $x_1 \ldots x_n$ 变换到 $m$ 个数 $y_1 \ldots y_n$ 的线性变换的一般形式为
\begin{equation}
\begin{cases}
y_1 = a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1n} x_n\\
y_2 = a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \ldots + a_{2n} x_n\\
\quad\; \vdots \\
y_m = a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \ldots + a_{mn} x_n~.
\end{cases}
\end{equation}
这里一共有 $m \times n$ 个系数，每个系数的下标由两个数组成，$a_{ij}$ 是计算 $y_i$ 时 $x_j$ 前面的系数。为了书写方便，把这些系数写成一个 $m$ 行 $n$ 列的数表，用圆括号括起来，就是表示该变换的
矩阵
\begin{equation}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
3. 几何理解
我们假设式 2 中的数都是实数，那么我们可以把 $(x_1, \dots, x_n)$ 和 $n$ 维空间中的几何矢量意义对应，即把它们看作是 $X$ 空间中矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 的 $n$ 个坐标。同理我们把 $(y_1, \dots, y_n)$ 看作是 $m$ 维空间 $Y$ 中的几何矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 的坐标。
变换是指，给出 $X$ 空间中的任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $，都能通过某种规则映射（即对应）到 $Y$ 空间中的某个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $。注意变换不能是一个 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 对应到多个 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $。变换的概念与函数类似，若将某变换记为 $ \hat{T} $，那么可以记
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{y}} = \hat{T} \boldsymbol{\mathbf{x}} ~.
\end{equation}
线性变换是一种满足特定性质的变换。指给出 $X$ 空间中的任意两个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _2$ 以及两个实数 $c_1$ 和 $c_2$，这个变换 $ \hat{L} $ 满足
\begin{equation}
\hat{L} (c_1 \boldsymbol{\mathbf{x}} _1 + c_2 \boldsymbol{\mathbf{x}} _2) = c_1 \hat{L} \boldsymbol{\mathbf{x}} _1 + c_2 \hat{L} \boldsymbol{\mathbf{x}} _2~.
\end{equation}