几何向量的线性变换

贡献者： addis; Giacomo

本文处于草稿阶段。
本文需要重新创作和整合，融入章节逻辑体系。
需要强调线性变换是矢量的变换，矢量本身和坐标是有区别的，坐标和基底有关，所以同一个线性映射使用不同基底，线性方程组的系数不一样

预备知识　几何向量的基底和坐标，函数（高中）

1. 代数理解

　　从代数的角度来说，对于给出几个数，把它们分别与一些常数相乘再把积相加，得到另外几个数的的过程就叫线性变换。例如，在 “平面旋转变换” 中，直角坐标系中任意一点 $P$ 的坐标 $(x, y)$ 绕远点旋转角 $α$ 以后的坐标为

\begin{matrix} (1) & {\begin{cases} x^{'} = (\cos α) x + (- \sin α) y \\ y^{'} = (\sin α) x + (\cos α) y . \end{cases} \end{matrix}

这就是一个常见的线性变换，任意给出两个实数

x, y

，通过与常数相乘再相加的方法得到两个新的实数

x^{'}, y^{'}

。

　　有些线性变换是一一对应的，例如上面的例子中，任何一组 $x, y$ ，有且仅有一组 $x^{'}, y^{'}$ 与之对应，反之亦然。在这种情况下，这个变换存在逆变换。

2. 线性变换的矩阵表示

　　由 $n$ 个数 $x_{1} \dots x_{n}$ 变换到 $m$ 个数 $y_{1} \dots y_{n}$ 的线性变换的一般形式为

\begin{matrix} (2) & {\begin{cases} y_{1} = a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} \\ y_{2} = a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} \\ ⋮ \\ y_{m} = a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} . \end{cases} \end{matrix}

这里一共有

m \times n

个系数，每个系数的下标由两个数组成，

a_{i j}

是计算

y_{i}

时

x_{j}

前面的系数。为了书写方便，把这些系数写成一个

m

行

n

列的数表，用圆括号括起来，就是表示该变换的矩阵

\begin{matrix} (3) & (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) . \end{matrix}

3. 几何理解

　　我们假设式 2 中的数都是实数，那么我们可以把 $(x_{1}, \dots, x_{n})$ 和 $n$ 维空间中的几何矢量意义对应，即把它们看作是 $X$ 空间中矢量 $x$ 的 $n$ 个坐标。同理我们把 $(y_{1}, \dots, y_{n})$ 看作是 $m$ 维空间 $Y$ 中的几何矢量 $y$ 的坐标。

　　变换是指，给出 $X$ 空间中的任意 $x$ ，都能通过某种规则映射（即对应）到 $Y$ 空间中的某个矢量 $y$ 。注意变换不能是一个 $x$ 对应到多个 $y$ 。变换的概念与函数类似，若将某变换记为 $\hat{T}$ ，那么可以记

\begin{matrix} (4) & y = \hat{T} x . \end{matrix}

　　 线性变换是一种满足特定性质的变换。指给出 $X$ 空间中的任意两个矢量 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 以及两个实数 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ ，这个变换 $\hat{L}$ 满足

\begin{matrix} (5) & \hat{L} (c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2}) = c_{1} \hat{L} x_{1} + c_{2} \hat{L} x_{2} . \end{matrix}