陪集和同余

贡献者： JierPeter; addis

　　 类似地还可以定义右陪集，不过二者选其一作为代表来研究就可以了，我们习惯上主要研究左陪集。

　　 注意这个表示方法：$xH=\{xh|h\in H\}$。这是一种非常简洁的表达方法，可以理解成 $x$ 逐个左乘 $H$ 中的元素得到的集合，也可以理解成是 $x$ 和 $H$ 之间的一个运算，结果是另一个集合。类似地，我们也可以用群里任意两个子集（不一定要求是子群）$A$ 和 $B$ 来生成一个新的子集 $AB=\{ab|a\in A, b\in B\}$，就是用 $A$ 中的每一个元素去左乘 $B$ 中的每一个元素，得到的所有结果的集合。当然，这种表示方法也可以推广到一切 “元素之间可以进行运算的集合”：集合 $A$ 和 $B$ 之间的运算，就是 $A$ 和 $B$ 所有可能的元素运算的结果构成的集合。比如说，考虑到整数集合上可以进行小学所学的乘法和加法运算，我们也可以把 $n\mathbb{Z}$ 的表示方法理解为用 $n$ 去乘全体整数所得到的集合，这个集合在加法下构成群¹。

　　 证明：

　　 思路是这样的：首先证明，$h$ 去乘 $H$ 中的任何元素，结果还在 $H$ 里；接着证明，$H$ 中的任何元素，也总在 $hH$ 里。具体证明过程如下：

　　 由封闭性，对于任意 $h_0\in H$，总有 $hh_0\in H$，因此 $hH\subseteq H$。

　　 任取 $h_0\in H$。由逆元存在性，$h$ 有逆元 $h^{-1}\in H$，因此又由封闭性知 $h^{-1}h_0\in H$。于是有 $h_0=hh^{-1}h_0\in hH$，即 $H\subseteq hH$。

　　 综上，$hH=H$。

　　 证毕。

　　 对于一般的左陪集 $xH$，如果用 $xH$ 中任意元素 $xh$（即 $h$ 是 $H$ 中的任意元素）来左乘 $H$，得到的 $xhH$ 仍然是同一个左陪集：$xH=xhH$（因为 $H=hH$。）。所以我们可以用左陪集中的任何一个元素 $x'$ 来作为代表，把这个左陪集写成 $x'H$。

　　 特别地，考察这个形式的集合²：$\{e, h, hh, hhh, hhhh, \cdots\}$。那么同样地由于封闭性和运算唯一性可知，这个集合还是群 $H$ 的一个子集。特别地，$H$ 的群运算限制在这个集合上能构成一个循环群（例 2 ）。只要我们把 $n$ 个 $h$ 相乘的结果记为 $h^n$，$n$ 个 $h^{-1}$ 相乘的结果记为 $h^{-n}$，那么如此生成的循环群就可以用指数的加法运算来处理了。由单个元素可以生成循环群这一概念，我们引入以下定义：

　　 注意左陪集不一定是子群，例如 $1 + 6\mathbb Z$ 中没有单位元。

例 2　$3\mathbb{Z}$ 的子群和左陪集

　　 $3\mathbb{Z}$ 虽然是 $\mathbb{Z}$ 的子群，但是它也可以从中再分离出子群来。由于 $3\mathbb{Z}$ 的集合是由全体 $3$ 的倍数构成的，因此全体 $6$ 的倍数构成的集合 $6\mathbb{Z}$ 是 $3\mathbb{Z}$ 的真子集，我们已经知道它构成群了。也就是说，$6\mathbb{Z}$ 既是 $\mathbb{Z}$ 的子群，又是 $3\mathbb{Z}$ 的子群，甚至还是 $2\mathbb{Z}$ 的子群。

　　 从例 1 中我们知道，$6\mathbb{Z}$ 作为 $\mathbb{Z}$ 的子群，有 $6$ 个左陪集；但作为 $3\mathbb{Z}$ 的左陪集的时候只有 $6/3=2$ 个左陪集。

　　 下图可以形象地表示 $\mathbb{Z}$，$3\mathbb{Z}$ 以及 $6\mathbb{Z}$ 之间的关系，一般的群和子群的关系也可以类似理解。

图 1：子群和陪集的示意图。整张图表示 $\mathbb{Z}$ 本身；中间的两个绿色区域表示 $3\mathbb{Z}$，左边的两个紫色区域表示 $1+3\mathbb{Z}$ 而右边的两个紫色区域表示 $2+3\mathbb{Z}$；中间上面的绿色区域表示 $6\mathbb{Z}$，而下面的绿色区域表示 $3+6\mathbb{Z}$，剩下的四个紫色区域分别表示 $6\mathbb{Z}$ 的另外四个左陪集。

　　 在这个图中可以清楚地看到，$3\mathbb{Z}=6\mathbb{Z}\cup(3+6\mathbb{Z})$。这很容易理解，因为 $3$ 的倍数无非两种情况，$6$ 的倍数或者 $6$ 的倍数再加 $3$。

　　 左陪集的意义是将群划分成互不相交的子集，这是一个等价类划分，也就是说，“$x$ 和 $y$ 属于同一个左陪集” 是一个等价关系。于是我们有了如下定理：

　　 证明：

　　 给定一个群 $G$，两个元素 $x, y\in G$，再给定它的一个子集 $H$，那么 “$y$ 在左陪集 $xH$ 中” 的等价表述，可以是 “$y\in xH$”；在这个属于关系两边同时左乘一个 $x^{-1}$，还能得到更常用的等价表述：$x^{-1}y\in H$³。

　　 我们用最后这个等价表述来检查，“在同一个左陪集中” 这一关系，是否是等价关系。

• 自反性：对于任意的 $x\in G$，由于 $e\in H$，故显然有 $x=xe\in xH$。因此 $x$ 和自己在同一个左陪集中。
• 对称性：如果 $x^{-1}y\in H$，由于 $H$ 是个群，故 $y^{-1}x=(x^{-1}y)^{-1}\in H$。因此 $x$ 也在左陪集 $yH$ 中。对称性还说明，如果 $y$ 在 $xH$ 中，那么 $x$ 也在 $yH$ 中，因此这两个表述可以合二为一为 “$x$，$y$ 在同一个左陪集中”。
• 传递性：如果 $x^{-1}y\in H$，$y^{-1}z\in H$，那么由于 $H$ 的封闭性，$(x^{-1}y)(y^{-1}x)\in H$，拆开括号后得到 $x^{-1}z\in H$。因此 $z$ 也在 $xH$ 中。

　　 到此，我们证明了 “在同一个左陪集中” 是一个等价关系。由这个等价关系划分的左陪集，是一种等价划分，左陪集彼此互不相交。

　　 证毕

　　 知道了左陪集是等价类，我们很容易发现群的一个优美的结构。在集合论中，子集的基数可以是任意的，只要它小于等于原集合的基数就可以；但是子群的阶却必须能够整除原群的阶。这就是群论的拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）：

　　 证明：

　　 假设 $x\in G$。根据 $xH$ 的定义，$|xH|\leq|H|$。又由群运算的唯一性，这个不等式应该取等号：$|xH|=|H|$。所以每个左陪集的基数都一样大。

　　 左陪集彼此不相交，每个元素 $x$ 都属于左陪集 $xH$，因此 $|G|$ 等于各个左陪集的基数之和，也就是 $|H|$ 的倍数。

　　 证毕

　　 拉格朗日定理还说明，任何有限群 $G$ 的元素，其指数都是 $|G|$ 的因子。

1. ^ 在乘法下一般不构成群，除非 $n$ 是素数，在这种情况下 $n\mathbb{Z}$ 配合乘法和加法就构成了最常见的一种有限域。
2. ^ 其中省略号表示一直列举下去，但排除与前面重复的元素。所以这个集合可能是有限的。
3. ^ 如果你不理解为什么可以像解方程一样两边同时乘以一个元素，请再琢磨琢磨上文中 $xH$ 的定义是什么。
4. ^ 对比整数中的同余概念。两个 “同余” 有什么联系吗？