贡献者： Giacomo; addis; hfb25; JierPeter; certain_pineapple
1. 表示
字面上讲，表示（representation）是用一个易于理解的表达方法来描述一些数学对象。比如说，对于学龄前的小朋友，想理解 $1+1=2$ 的概念可能过于抽象，不利于理解，这个时候可以使用 “一个苹果加一个苹果等于两个苹果” 来表示相同的概念，会更容易理解。
数学上讲，表示论是研究对称性的学科，它把一个抽象的代数结构的元素映射成一个相对具体线性变换。其中群是表示论所研究的最简单的代数结构，这个学科就被称为群表示论。[1] [2]
2. 群的表示
定义 1 群的（线性）表示
设有群 $G$ 和一个线性空间 $V$，记 $V$ 上的全体可逆线性变换为 $ \operatorname {GL}(V)$1。如果存在同态$\phi: G\rightarrow \operatorname {GL}(V)$，那么我们称 $(V, \phi)$ 是群 $G$ 在 $V$ 上的一个群表示。在不会产生歧义时，我们把 $\phi(g)(v)$ 简记做 $g \cdot v$。
注：有些时候我们会直接称 $V$ 是群表示，此时群表示是一个代数结构；有时候我们又会称 $\rho$ 为群表示，此时群表示是一个函数。为了避免歧义，可以称 $V$ 为表示空间，$\rho$ 为表示映射。
群表示是一种特殊的群作用定义 1 ，而且一个群作用可以诱导出一个与之相关的群表示。
在选定线性空间的基后，群的线性变换与表示矩阵相对应，有变换规则：$P(g)v_\nu=D(g)_{\nu\mu}v_\mu$
作为一个例子，有循环群 $C_3$ 的一个一维表示为：$D(e)=1$,$D(a)=\rm{e}^{\frac{2\pi i}{3}}$,$D(a^2)=\rm{e}^{\frac{4\pi i}{3}}$,可见群的表示矩阵的乘法规则与群乘法表相同。
定义 2 形式代数
设有域 $\mathbb{F}$ 和集合 $S$，我们可以定义一个 $\mathbb{F}$-代数，其元素为 $S$ 中元素的形式线性组合，记做
$$
\mathbb{F}[S]: = \left\{ \sum a_i s_i \mid \text{有限个非零} a_i \right\}~.
$$
未完成：例子
定义 3 群作用诱导的群表示
设有群 $G$ 到集合 $S$ 的群作用 $\rho: G \to \operatorname {Aut}(S)$，我们可以得到一个 $G$ 在 $\mathbb{F}[S]$ 上表示 $(\mathbb{F}[S], \phi)$，
$$\begin{aligned}
\phi: G &\to \operatorname {GL}(\mathbb{F}[S]) \\
\phi(g)(\sum a_i s_i) &= \sum a_i \rho(g)(s_i)~.
\end{aligned}$$
例 1 平凡表示
类似平凡作用例 1 ，对任何群 $G$，任何向量空间 $V$，我们可以定义平凡表示 $\rho(g) := \text{id}_V$。
未完成：正则表示
未完成：更多例子
3. 等变映射（同态）
就像我们研究所有的代数结构一样，我们也要为群的表示之间定义 “同态” 的概念。类似于所有代数结构上的同态，线性表示的同态也是保持 “运算结果”，也就是表示对群的作用不变的映射。
定义 4 等变映射，同构映射
$G$ 的两个表示 $(V, \phi), (W, \psi)$ 之间的一个 $G$-等变映射（或简称等变映射，$G$-映射）是它们之间的线性映射 $f: V \to W$，满足对任意的 $g \in G$
$$
\psi(g) \circ f = f \circ \phi(g)~,
$$
或者更简单的记做
$$
g \cdot f(v) = f(g \cdot v)~.
$$
如果 $f$ 可逆的话，$f$ 被称为同构映射，如果两个表示之间存在一个同构映射的话，就称这两个表示是同构的。
注：等变映射的英译为 equivariant map，有时也称交结映射intertwing map。
定义 5 不变映射
如果 $G$-等变映射 $f: (V, \phi) \to (W, \psi)$ 中的 $(W, \psi)$ 是平凡的，那么 $f$ 就被称为 $G$-不变的，或者 $(G, \phi)$-不变的。
未完成：商表示、不可约表示
4. 子表示
未完成：这里的内容可能有问题，待讨论
类似所有的代数结构，我们可以引入在 $V$ 的子空间上引入子表示的概念，但是显然需要对子空间有一定的限制条件。
定义 6 不变子空间
设 $(V,\varphi)$ 是群 $G$ 的一个表示。$V$ 的一个子空间 $U$ 如果是线性变换 $\varphi(g)$ 的不变子空间，$\forall g\in G$，即对任意 $g\in G$ 有 $\varphi(g)(U)\subseteq U$，那么称 $U$ 是表示 $\varphi$ 的不变子空间或$G$ 不变子空间。
从而在不变子空间 $U$ 上，$\varphi(g)|U$ 仍是线性变换且可逆（不是不变就没法可逆），我们就可以得到相应的子表示。
定义 7 子表示
设 $(V,\varphi)$ 是群 $G$ 的一个表示。$U\neq\{0\}$ 是 $G$ 不变子空间，令
\begin{equation}
\varphi_U(g) := \varphi(g)|U,\quad\forall g\in G~,
\end{equation}
则得到一个表示 $(U,\varphi_U)$,称为 $\varphi$ 的一个
子表示。
1. ^ 一般线性群定义 1
[1] ^ Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, GTM 222, Springer press.
[2] ^ 丘维声. 群表示论. 高等教育出版社, 2011.12.