换位子群

                     

贡献者： JierPeter

预备知识　正规子群和商群

定义 1　换位子

　　 给定群 $G$ 中的任意元素 $a$ 和 $b$，记元素 $[a, b]=a^{-1}b^{-1}ab$，称之为为一个 $G$ 上的换位子（commutator），或者导子。

　　 给定义 1 中的概念取换位子这一名称，是因为它作用在两个元素的乘积上可以交换其乘积顺序：$(ab)(b^{-1}a^{-1}ba)=ba$。它可以用来更细致地刻画群的交换性，而不仅仅是粗糙的 “交换 / 不交换” 的描述。具体来说，我们需要用换位子群来描述群的交换性：

定义 2　换位子群

　　 给定群 $G$ 及其子群 $H$ 和 $K$，称

\begin{equation} [H, K] = \langle \{[h, k]\mid h\in H, k\in K\} \rangle~ \end{equation}
为 $H$ 和 $K$ 的换位子群（commutator subgroup）或导子群（derived subgroup）。特别地，称 $[G, G]$ 为 $G$ 的换位子群。

　　 注意，$[H, K]$ 并不是换位子构成的集合，而是由这个集合生成的子群。换句话说，换位子群中存在不是换位子的元素。

例 1　换位子群中不是换位子的元素

　　 考虑由四个元素生成的自由群$ \operatorname {F}_4=\langle x, y, z, w \rangle$，则显然 $[x, y][z, w]\in [ \operatorname {F}_4, \operatorname {F}_4]$，但这个元素本身并不是 $ \operatorname {F}_4$ 的换位子。

定理 1　

　　 给定群 $G$ 及其子群 $H, K$，则 $[H, K]\triangleleft G$。

　　 证明：

　　 换位子群中的元素都可以写成换位子相乘的形式：$x_1x_2x_3\cdots x_n$，其中各 $x_i$ 为换位子 $[h_i, k_i]$，$h_i\in H, k_i\in K$。因此，要证明 $g^{-1}[H, K]g\subseteq [H, K]$，只需要证明 $g^{-1}x_1g$ 是一个 $H$ 和 $K$ 的换位子即可，这样 $g^{-1}x_1x_2x_3\cdots x_ng=g^{-1}x_1gg^{-1}x_2gg^{-1}x_3gg^{-1}\cdots gg^{-1}x_ng$ 也是 $H$ 和 $K$ 的换位子的乘积，故在换位子群中。

　　 对于任意 $g\in G$，任取 $h\in H, k\in K$，则

\begin{equation} \begin{aligned} g^{-1}[h, k]g ={}& g^{-1}h^{-1}k^{-1}hkg\\ ={}& g^{-1}h^{-1}gg^{-1}k^{-1}gg^{-1}hgg^{-1}kg\\ ={}& \left(g^{-1}hg \right) ^{-1} \left(g^{-1}kg \right) ^{-1} \left(g^{-1}hg \right) \left(g^{-1}kg \right) \end{aligned}~ \end{equation}
也是一个换位子。

　　 证毕。

　　 换位子群刻画交换性的方式由以下定理 2 描述：

定理 2　

　　 设 $N$ 是群 $G$ 的正规子群，则商群 $G/N$ 交换当且仅当 $G^{(1)}\subseteq N$。

　　 证明：

　　 任取 $x, y\in G$，则 $G^{(1)}\subseteq N$ 当且仅当 $(xy)^{-1}yx\in N$。

　　 而 $(xy)^{-1}yx\in N$ 等价于 $(xy)^{-1}yxN=N$，这又等价于 $yxN=xyN$，也就是商群运算的交换性。

　　 证毕。

　　 定理 2 表明，一个群 $G$ 如果不交换，我们也可能找到一个正规子群使其商群为交换群，好比是抹去了一些细节之后陪集的运算体现出交换性。当然，必须抹去的细节越多，我们就可以说 $G$ 的交换性越差；没有抹去的必要，那 $G$ 就是完全交换的。而这个必须抹去的细节，就是换位子群。换位子群越大，则 $G$ 的交换性越低；换位子群只含单位元，那么 $G$ 本身就是交换的。

                     

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