量子简谐振子（级数法）
贡献者： JierPeter; addis
- 本文处于草稿阶段。
量子力学中，简谐振子的定态薛定谔方程为
\begin{equation}
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + \frac12 m \omega^2 x^2\psi = E\psi~,
\end{equation}
\begin{equation}
E_n = \left(\frac12 + n \right) \hbar \omega ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\psi_n (x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left(\frac{\alpha^2}{\pi } \right) ^{1/4} H_n(u) \mathrm{e} ^{-u^2/2}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\alpha \equiv \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar }}, \qquad
u \equiv \alpha x~,
\end{equation}
图 1：简谐振子的前几个束缚态波函数（式 3 ，$\alpha = 1$）
前 4 个波函数分别为（注意函数的奇偶性与角标的奇偶性相同）
\begin{equation} \begin{aligned}
\psi_0(x) &= \left(\frac{\alpha^2}{\pi} \right) ^{1/4} \mathrm{e} ^{-u^2/2}~, &
\psi_2(x) &= \left(\frac{\alpha^2}{\pi } \right) ^{1/4} \frac{1}{\sqrt 2 } (2u^2 - 1) \mathrm{e} ^{-u^2/2}~,\\
\psi_1(x) &= \left(\frac{\alpha ^2}{\pi } \right) ^{1/4} \sqrt2u \mathrm{e} ^{-u^2/2}~, \quad &
\psi_3(x) &= \left(\frac{\alpha ^2}{\pi } \right) ^{1/4} \frac{1}{\sqrt 3} u(2u^2 - 3) \mathrm{e} ^{-u^2/2}~.
\end{aligned} \end{equation}
Matlab 代码如（使用原子单位制）
代码 1：psi_SHO.m
function psi = psi_SHO(m, w, n, x)
alpha = sqrt(m*w); u = alpha * x;
psi = 1/sqrt(2^n*factorial(n)) *...
(alpha^2/pi)^0.25 * hermiteH(n, u) .* exp(-u.^2/2);
end
1. 推导（生成函数法）
为了方便，记 $\varepsilon \equiv 2mE/\hbar^2$，再使用 $\hbar=1$ 的单位制，于是式 1 化为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{y} ^2}\psi(x) + (\varepsilon-m^2\omega^2x^2)\psi(x)=0~,
\end{equation}
\begin{equation}
h''(x)-2m\omega xh'(x)+(\varepsilon-m\omega)h=0~.
\end{equation}
生成函数
考虑生成函数 $g(x, t)\equiv \exp\left(-t^2+2tx\right) $，用它来定义一系列 Hermite 多项式 $H_n$：
\begin{equation}
g(x, t) = \exp\left(-t^2+2tx\right) = \sum_{n=0}^\infty H_n(x)\frac{t^n}{n!}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\partial^n}{\partial t^n}g(x, t)\mid_{t=0} = H_n(x)~,
\end{equation}
\begin{equation}
H_0(x) = g(x, 0) = 1~.
\end{equation}
对式 8 求关于 $x$ 的偏导数得：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sum_{n=0}^\infty H_n(x)\frac{2t^{n+1}}{n!}&=2t \exp\left(-t^2+2tx\right) \\
&=\frac{\partial}{\partial x} \exp\left(-t^2+2tx\right) \\
&=\frac{\partial}{\partial x}\sum_{n=0}^\infty H_n(x)\frac{t^n}{n!}\\
&=\sum_{n=0}^\infty H'_n(x)\frac{t^n}{n!}~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
H'_n(x) = 2nH_{n-1}(x)~.
\end{equation}
由式 12 和式 10 ，再考虑到 $H_n(x)$ 的常数项是 $H_n(0)=\frac{\partial^n}{\partial t^n}g(0, t)\mid_{t=0}=\frac{\partial^n}{\partial t^n} \exp\left(-t^2\right) \mid_{t=0}$，可以推知所有 Hermite 多项式：
\begin{equation}
H_0(x)=1\implies H'_1(x)=2\implies H_1(x)=2x~,
\end{equation}
\begin{equation}
H_1(x)=2x\implies H'_2(x)=8x\implies H_2(x)=4x^2-2~,
\end{equation}
\begin{equation}
H_2(x)=4x^2-2\implies H'_3(x)=24x^2-12\implies H_3(x)=8x^3-12x~.
\end{equation}
证明 $H_n$ 满足 $h$ 的方程
对式 8 求关于 $t$ 的偏导数得：
\begin{equation}
\begin{aligned}
(2x-2t)\sum_{n=0}^\infty H_n(x)\frac{t^n}{n!}&=(2x-2t) \exp\left(-t^2+2tx\right) \\
&=\frac{\partial}{\partial t} \exp\left(-t^2+2tx\right) \\
&=\frac{\partial}{\partial t}\sum_{n=0}^\infty H_n(x)\frac{t^n}{n!}\\
&=\sum_{n=0}^\infty H_n(x)\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{2xH_n(x)}{n!}-\frac{2H_{n-1}(x)}{(n-1)!}=\frac{H_{n+1}}{n!}(x~,
\end{equation}
\begin{equation}
H_{n+1}(x) = 2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)~,
\end{equation}
\begin{equation}
H_{n}(x) = 2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x)~.
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
H_n''(x)&=2nH'_{n-1}(x)\\
&=2n\cdot 2(n-1)H_{n-2}(x)\\
&=2n\cdot(2xH_{n-1}(x)-H_n(x))\qquad\text{这一步代入式 19 }\\
&=2xH'_n(x)-2nH_n(x)~,
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
H_n''-2xH_n'-2nH_n=0~.
\end{equation}
式 21 和式 7 形式完全相同，系数的差异可以通过合适的变量代换或单位选择来消除。将 $\hbar$ 添回式 6 ，进行合适的变量代换（式 4 ），即可从式 7 得到式 3 。
1. ^ 指数上的符号是为了让波函数在无穷远处趋于 0。