贡献者： 零穹
带有内积的矢量空间是指在矢量空间 $V$ 上配备一个固定的二次型
\begin{equation}
q(x)=f(x,x)=\sum_{i,j}a_{ij}x_ix_j~,
\end{equation}
即内积空间是一个二元组 $(V,q)$。例如，欧几里得矢量空间配备的是一个正定二次型（
），而埃尔米特矢量空间配备的是正定的埃尔米特型（
）。此外，配备一个不定型的矢量空间同样起着重要的作用，这样的空间称之
指数有限度量矢量空间。
定义 1 指数有限度量矢量空间
矢量空间 $V$ 配备一个不定型 $q$ 构成的二元组 $(V,q)$ 称之为指数有限度量矢量空间。
定义中的 “指数” 是指惯性指数（或正惯性指数）（定义 3 ）。
配备了二次型后的矢量空间 $V$，完全可对照欧几里得矢量空间建立一系列的概念。
设矢量空间 $V$ 定义在实数域 $\mathbb R$ 上，于是非退化二次型 $q$ 可取标准形式（$n$ 为 $V$ 的维数）
\begin{equation}
q(x)=\sum_{i=1}^s x_i^2-\sum_{i=s+1}^n x_i^2~.
\end{equation}
事实上，每个二次型 $q$ 都有一配极的双线性型 $f$（
定义 1 ），$f$ 是个对称的。二次型非退化意味着对称双线性 $f$ 非退化，而 $f$ 对称性保证了它可对角化（
定理 1 ），进而可选择基底使得 $q$ 标准化为
式 2 （
定理 1 ）。
于是，$V$ 上的内积为：
\begin{equation}
(x|y)=\sum_{i=1}^{s}x_iy_i-\sum_{i=s+1}^{n}x_{i}y_i~.
\end{equation}
此时，为了停留在处理实数的领域，只讨论矢量 $x$ 的模的平方 $ \left\lVert x \right\rVert ^2=(x|x)$，在 $1\leq s\leq n-1$ 时，它可正可负。若 $ \left\lVert x \right\rVert ^2=0$，则说矢量 $x$ 是迷向的。
欧几里得矢量空间中的二次型建立了其上的度量，同样的，这里仍将二次型 $(x|x)$ 称为 $V$ 上的度量型。
定义 2 指数有限度量空间
仿射空间 $\mathbb E$ 配备一个指数有限度量矢量空间 $V$ 构成的三元组 $(\mathbb E,V,\rho)$ 称为指数有限度量空间。其中 $\rho$ 是其上的距离函数。
和欧几里得空间完全类似，可建立一系列的概念。同样也把 $\rho^2(\dot p,\dot q)$ 称为仿射空间 $\mathbb E$ 上的度量型，并且为了停留在实数域，只讨论 $\rho^2(\dot p,\dot q)$。
定义 3 伪欧几里得空间、闵可夫斯基空间
设 $\mathbb E$ 是一个指数有限度量空间，$s$ 是其正惯性指数。当 $1\leq s\leq n-1$ 时，称 $\mathbb E$ 是伪欧几里得空间。当 $s=1$ 时，则称它是闵可夫斯基空间（当 $s=n-1$ 时，令 $q=-q$，则也是一个闵可夫斯基空间，所以可把 $s=1$ 和 $s=n-1$ 当作同一情形对待）。
1. 伪欧几里得运动
在欧几里得空间中，运动是使得点点距离不变的变换。即若 $f$ 是运动，则 $\rho(f(\dot p),f(\dot q))=\rho(\dot p,\dot q)$。然而在伪欧几里得空间中，由于只考虑 $\rho^2$，所以伪欧几里得空间中的运动是使得
\begin{equation}
\rho^2(f(\dot p),f(\dot q))=\rho^2(\dot p,\dot q)~.
\end{equation}
成立的变换 $f$。
定义 4 伪欧几里得空间运动
设 $(\mathbb E,V,\rho)$ 是伪欧几里得点空间，变换 $f:\mathbb E\rightarrow\mathbb E$ 称为其上的运动（或保内积映射），如果对 $\forall \dot p,\dot q\in\mathbb E$，都有
\begin{equation}
\rho^2(f(\dot p),f(\dot q))=\rho^2(\dot p,\dot q)~.
\end{equation}
在伪欧几里得空间，运动也有和欧氏空间相似的结论成立，即：运动和一仿射映射等价，该仿射映射线性部分对应矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 满足 $F^TI_sF=I_s$（$I_s$ 是伪欧空间中标准二次型 $q$ 对应的双线性型对应的矩阵）；任一运动可由平移和保持某个固定点的仿射映射（其线性部分对应矩阵满足 $F^TI_sF=I_s$）复合而成。具体来说，下面定理成立：
定理 1