贡献者： 零穹; addis
定义 1 欧几里得矢量空间
定义在实数域 $\mathbb R$ 上的矢量空间 $V$，若其带有一个对称的双线性型 $( x, y)\mapsto( x| y)$（定义 2 ），且对应的二次型 $ x\mapsto( x| x)$ 是正定的，则称空间 $V$ 是一个欧几里得矢量空间。
在欧几里得矢量空间，矢量使用正体粗体表示。
通常，对称的双线性型 $(*|*)$ 在 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 处的值称为它们的内积（或纯量积）。我们用符号 $(*|*)$ 代替通常的 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )$。这里我们不用 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )$ 和 $\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \rangle$ 代替内积，出于这样的考虑：已经有简单的矢量对 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )$，它是笛卡尔积 $V\times V$ 的元素（式 2 ）；而 $\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \rangle $ 又是矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 生成的子空间（定义 1 ）。
再一次把内积的性质列出来：
- 对称性：$( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )=( \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} )$;
- 线性：$(\alpha \boldsymbol{\mathbf{x}} +\beta \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{z}} )=\alpha( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{z}} )+\beta( \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{z}} )$；
- 正定性：$( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} )>0,\;\forall \boldsymbol{\mathbf{x}} \neq0(( \boldsymbol{\mathbf{0}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} )=0)$。
例 1
次数 $\leq n-1$ 的多项式（其域为实数域 $\mathbb R$）对通常的加法和数乘构成一个矢量空间 $V=P_n$。对任意两个矢量（多项式）$f,g\in P_n$，数
\begin{equation}
(f|g)=\int_a^b f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
给出 $P_n$ 上向量间的内积。此内积是用
式 1 在连续函数（区间 $[a,b]$ 上）的无穷维矢量空间 $C(a,b)$ 上给出的。相应的无穷维欧几里得空间则表示为 $C_2(a,b)$。
例 2
欧几里得矢量空间 $V$ 的任一子空间 $U$ 本身也是欧几里得矢量空间，因为 $V$ 中内积在 $U$ 中的限制定义了双线性函数 $U\times U\rightarrow\mathbb R$，且保持内积的性质。特别的，域 $\mathbb R$ 本身可看成是个 1 维的实的矢量空间。
定义 2 长度
在欧几里得矢量空间 $V$ 中，称非负实数
\begin{equation}
\left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert \right\rvert =\sqrt{( \boldsymbol{\mathbf{v}} | \boldsymbol{\mathbf{v}} )}~.
\end{equation}
是任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \in V$ 的
长度或
模。长度为 1 的矢量称为
标准的。
因为 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} | \boldsymbol{\mathbf{v}} )\neq0$，所以任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的长度都是完全确定的。
容易验证下面几个性质：
- $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \neq0\Rightarrow \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert \right\rvert >0$。
- $ \left\lvert \left\lvert \lambda \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert \right\rvert = \left\lvert \lambda \right\rvert \cdot \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert \right\rvert $.
例 3 矢量的标准化
任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 乘以它的长度的倒数 $\frac{1}{ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert \right\rvert }$ 便可将其标准化，即
\begin{equation}
\left\lvert \left\lvert \frac{1}{ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert \right\rvert } \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert \right\rvert =1~.
\end{equation}
定理 1 柯西-布尼亚科夫斯基不等式
欧几里得向量空间中，对任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in V$，成立不等式
\begin{equation}
\left\lvert ( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} ) \right\rvert \leq \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert \, \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert ~.
\end{equation}
且等号仅在 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} =\lambda_0 \boldsymbol{\mathbf{x}} ,\;\lambda_0\in\mathbb R$（即矢量共线）时成立。
证明：由内积的性质
\begin{equation}
\begin{aligned}
&(\lambda \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{y}} |\lambda \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\
&\underset{\text{线性}}{=}\lambda^2( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} )-\lambda ( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )-\lambda ( \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} )+( \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\
&\underset{\text{对称性}}{=}\lambda^2( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} )-2\lambda ( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )+( \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\
&\underset{\text{正定性}}{\geq}0~.
\end{aligned}
\end{equation}
最后一不等式可看成关于 $\lambda$ 的二次三项式，其判别式满足
\begin{equation}
(2( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} ))^2-4( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} )( \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )\leq0~.
\end{equation}
即
\begin{equation}
\begin{aligned}
( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )^2&\leq( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} )( \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\
&\Downarrow\\
\left\lvert ( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} ) \right\rvert &\leq \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert \, \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert
\end{aligned}~.
\end{equation}
当等号成立时，
式 6 应取等，即二次三项式仅有一根 $\lambda_0$。对照
式 5 有
\begin{equation}
(\lambda_0 \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{y}} |\lambda_0 \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{y}} )=0~,
\end{equation}
即 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} =\lambda_0 \boldsymbol{\mathbf{x}} $。
证毕！
推论 1 三角不等式
矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} + \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 的长度满足不等式
\begin{equation}
\left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \pm \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert \leq \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert + \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert ~.
\end{equation}
证明：由定理 1
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \pm \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert ^2&= \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert ^2+ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert ^2\pm2( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )\leq \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert ^2+ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert ^2+2( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\
&\leq \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert ^2+ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert ^2+2 \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert \cdot \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert =( \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert + \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert )^2~.
\end{aligned}
\end{equation}
例 4
在空间 $C_2(a,b)$（例 1 ）上，式 4 就变为
\begin{equation}
\left\lvert \int_a^b f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} \right\rvert \leq\sqrt{\int_a^b f^2(x) \,\mathrm{d}{x} }\cdot\sqrt{\int_a^b g^2(x) \,\mathrm{d}{x} }~.
\end{equation}
定理 1 意味着
\begin{equation}
-1\leq\frac{( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )}{ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert \, \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert }\leq1~,
\end{equation}
也就是说，存在一个角 $\varphi$，使得
\begin{equation}
\cos\varphi=\frac{( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )}{ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert \, \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert }~.
\end{equation}
定义 3 夹角
欧几里得矢量空间中，由
\begin{equation}
\cos\varphi=\frac{( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )}{ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert \, \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert }~
\end{equation}
确定的角 $\varphi$ 称之为矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 的
夹角。
定义 4 正交
如果矢量的夹角为 $\pi/2$，亦即 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{y}} )=0$，则称它们是正交的，记作 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \perp \boldsymbol{\mathbf{y}} $。
定理 2 毕达哥拉斯定理
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{x}} \perp \boldsymbol{\mathbf{y}} \Rightarrow \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} + \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert ^2= \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \right\rvert ^2+ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \right\rvert ^2~.
\end{equation}
习题 1
试证明对两两正交的矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{v}} _n$，成立
\begin{equation}
\left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} _1+\cdots+ \boldsymbol{\mathbf{v}} _n \right\rvert \right\rvert ^2= \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 \right\rvert \right\rvert ^2+\cdots+ \left\lvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} _n \right\rvert \right\rvert ^2~.
\end{equation}
例 5
与给定矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 正交的所有矢量的集合是一个子空间，该空间称为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的正交补。事实上，若
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{x}} \perp \boldsymbol{\mathbf{v}} ,\quad \boldsymbol{\mathbf{y}} \perp \boldsymbol{\mathbf{v}} ~,
\end{equation}
则
\begin{equation}
(\alpha \boldsymbol{\mathbf{x}} +\beta \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{v}} )=\alpha( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{v}} )+\beta( \boldsymbol{\mathbf{y}} | \boldsymbol{\mathbf{v}} )=0,\quad \forall\alpha,\beta\in\mathbb R~.
\end{equation}
若矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 与子空间 $U$ 任意矢量都正交，则说 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 正交于子空间 $U$，记作 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \perp U$。
定义 5 正交补
设 $U$ 是 $V$ 的子空间，则集合
\begin{equation}
\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{x}} \perp U\wedge \boldsymbol{\mathbf{x}} \in V\}~
\end{equation}
也是一个子空间，称为 $U$ 的
正交补，记作 $U^{\perp}$。
定义 6 正交基底
称欧几里得空间 $V$ 的基底 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _n)$ 是正交的，如果
\begin{equation}
( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i| \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=0,\;i\neq j=1,\dots,n~
\end{equation}
若此外还有 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i| \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=1,\;i=1,\cdots ,n$，则称此基底为
标准正交基底.
和所有的正定型一样，欧几里得矢量空间必有标准正交基底（因为对称双线性型必有规范基底定理 1 ，而正定的双线性型是非退化的定义 2 ，而每一基都可标准化例 3 ）。
习题 2
在标准正交基底下，矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 在基矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$ 上的坐标 $x_i$ 为
\begin{equation}
( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=x_i~.
\end{equation}
定义 7 投影
称内积 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} | \boldsymbol{\mathbf{e}} )$ 是矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 在直线 $\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} \rangle_{\mathbb R}$ 上的投影，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} $ 是个长度为 1 的矢量。
如此，矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 在标准正交基底 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _n)$ 下的坐标与 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 在坐标轴 $\langle \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\rangle_\mathbb{R}$ 上的投影一致。