贡献者： 零穹
有了欧几里得矢量空间和仿射空间之后，终于可以更加贴近于我们所处的 3 维物理空间。简单来说，欧几里得空间就是与欧几里得矢量空间相伴随的仿射空间。在它上面，可以获得高中时候早就熟知的各种几何图景，比如直角坐标系，线段，线线夹角等概念。不同的是，这里是更一般的空间，其维度不止于 3 维空间。
1. 欧几里得空间
定义 1 欧几里得空间
称仿射空间 $(\mathbb E,V)$ 是个欧几里得（点）空间，如果 $V$ 是欧几里得矢量空间。并把 $V$ 的维数称为欧几里得空间的维数
定义 2 点点距离
欧几里得空间 $(\mathbb E,V)$ 中，函数 $\rho:\mathbb E\times\mathbb E\rightarrow\mathbb R$:
\begin{equation}
\rho(\dot p,\dot q):= \left\lVert \overrightarrow{pq} \right\rVert =\sqrt{(\overrightarrow{pq}|\overrightarrow{pq})}~
\end{equation}
称为点点之间的
距离函数。
也就是说，欧几里得空间是个三元组 $(\mathbb E,V,\rho)$。
由矢量内积的性质，距离函数有以下性质；
- 对称性：$\rho(\dot p,\dot q)=\rho(\dot q,\dot p)$；
- 正定性：$\rho(\dot p,\dot q)\geq 0$ 且 $\rho(\dot p,\dot q)= 0\Leftrightarrow\dot p=\dot q$;
- 三角不等式：$\rho(\dot p,\dot q)+\rho(\dot q,\dot r)\geq\rho(\dot p,\dot r)$
为方便起见，过点 $\dot p,\dot q$ 之间的直线（式 4 ）记作 $\Pi_{\dot p\dot q}$。
定义 3 线线夹角
矢量 $\overrightarrow{pq}$ 和 $\overrightarrow{rs}$ 之间的夹角 $\varphi$
\begin{equation}
\cos\varphi=\frac{(\overrightarrow{pq}|\overrightarrow{rs})}{ \left\lVert \overrightarrow{pq} \right\rVert \cdot \left\lVert \overrightarrow{rs} \right\rVert }~
\end{equation}
称为直线 $\Pi_{\dot p\dot q}$ 和 $\Pi_{\dot r\dot s}$ 之间的
夹角。
定义 4 直角坐标系
在欧几里得空间 $(\mathbb E,V)$ 中，称坐标系 $\{\dot o; \boldsymbol{\mathbf{e_1}} ,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e_n}} \}$ 为直角坐标系，如果 $ \boldsymbol{\mathbf{e_1}} ,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e_n}} $ 是矢量空间 $V$ 中的一个标准正交基底：$( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i| \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=\delta_{ij}$。其中，$n$ 为 $V$ 的维数。
例 1
在直角坐标系中，若点 $\dot p,\dot q$ 的坐标分别为 $x_1,\cdots,x_n$ 和 $y_1,\cdots,y_n$，则 $\overrightarrow{pq}$ 坐标为 $y_1-x_1,\cdots,y_n-x_n$（定理 3 ）。于是，点 $\dot p,\dot q$ 距离为（式 16 ）
\begin{equation}
\rho(\dot p,\dot q)=\sqrt{ \left\lVert \sum_{i}(y_i-x_i) \boldsymbol{\mathbf{e}} _i \right\rVert ^2}=\sqrt{\sum_{i}(y_i-x_i)^2 \left\lVert \boldsymbol{\mathbf{e}} _i \right\rVert ^2}=\sqrt{\sum_{i}(y_i-x_i)^2}~.
\end{equation}
定义 5 线段，中点
称集合
\begin{equation}
\dot p\dot q=\{\dot p+\lambda\overrightarrow{pq}|0\leq\lambda\leq1\}~
\end{equation}
是仿射空间中连接点 $\dot p,\dot q$ 的
线段。满足条件 $\overrightarrow{pr}=\overrightarrow{rq}$ 的点 $\dot r\in\dot p\dot q$ 称为
线段 $\dot p\dot q$ 的中点。而
\begin{equation}
\left\lvert \dot p\dot q \right\rvert := \left\lVert \overrightarrow{pq} \right\rVert ~
\end{equation}
称为线段的
长度。
例 2
试证明：$\dot p\dot q=\dot q\dot p$。
证明：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot p\dot q&=\{\dot p+\lambda\overrightarrow{pq}|0\leq\lambda\leq1\}\\
&=\{\dot q+(1-\lambda)\overrightarrow{qp}|0\leq\lambda\leq1\}\\
&=\{\dot q+\lambda'\overrightarrow{qp}|0\leq\lambda'\leq1\}=\dot q\dot p~.
\end{aligned}
\end{equation}
定义 6 点面距离，垂线
设 $\dot q$ 是平面 $\Pi$ 上一点，称直线 $\Pi_{\dot p\dot q}$ 垂直于平面 $\Pi$，记作 $\Pi_{\dot p\dot q}\perp\Pi$。若
\begin{equation}
\forall \dot r,\dot s\in\Pi\Rightarrow (\overrightarrow{pq}|\overrightarrow{rs})=0~,
\end{equation}
此时，称 $\rho(\dot p,\dot q)$ 是
点 $\dot p$ 到平面 $\Pi$ 的距离。而 $\dot p,\dot q$ 之间的线段 $\dot p\dot q$ 就称为点 $\dot p$ 在 $\Pi$ 上的
垂线，记为 $\dot p\dot q\perp\Pi$。
显然，当 $\dot p\in\Pi$ 是，$\Pi_{\dot p\dot q}$ 不可能垂直于 $\Pi$。因为 $(\overrightarrow{pq}|\overrightarrow{pq})>0,\dot p\neq \dot q$，而当 $\dot p=\dot q$ 时，由直线定义（定义 1 ），$\{\dot p+\lambda\dot q|\lambda\in \mathbb R\}=\{\dot p\}$ 是个点，并不是直线。