斜对称双线性型的规范型

贡献者：零穹

预备知识　二次型的规范型

　　在二次型一节中，已经知道每一对称双线性型 $f$ 对应一个二次型 $q$ ，并且每一对称双线性型 $f$ 都有一规范基底，在此基底下，二次型 $q$ 呈现一种简单的形式

\begin{matrix} (1) & q (x) = \sum_{i} f_{i i} x_{i}^{2}, \end{matrix}

现在我们转向斜对称的双线性型定义 2 ，也就是满足

\begin{matrix} (2) & f (x, y) = - f (y, x) (\forall x, y \in V) \end{matrix}

的 2-线性函数。

　　对于斜对称双线性型 $f$ ，设其对应矩阵为 $F = (f_{i j})$ ，那么

\begin{matrix} (3) & f (x, y) = X^{T} F Y = \sum_{1 \leq i < j \leq n} f_{i j} (x_{i} y_{j} - x_{j} y_{i}) . \end{matrix}

　　若 $V_{0}$ 是斜对称双线性型 $f$ 的核，也就是子空间

\begin{matrix} (4) & V_{0} = Ker f = {v \in V | f (v, x) = 0, \forall x \in V} . \end{matrix}

那么

f

在

V_{0}

的补空间（定义 1 ）

V_{1}

上的限制

f |_{V_{1}}

必为非退化的斜对称型。这是因为，如果

a \neq 0 \in V_{1}

且

f (a, x_{1}) = 0

对所有的

x_{1} \in V

都成立（这句话意味着

f

是退化的，因为它将非零向量

a

映射到零向量），那么任意向量

x = x_{0} + x_{1} \in V (x_{0} \in V_{0})

，有

\begin{matrix} (5) & f (a, x) = f (a, x_{0} + x_{1}) = f (a, x_{0}) + f (a, x_{1}) = - f (x_{0}, a) = 0 . \end{matrix}

这就是说

a \in V_{0}

，而这是不可能的。

　　上面论断使得我们可将对 $f$ 的研究归结为非退化的情形。即认为 $f : V \times V \to F$ 是个非退化的双线性型。

1. 斜对称双线性型的规范型

定义 1　辛平面

　　若斜对称双线性型 $f$ 在矢量空间 $V$ 的二维子空间 $W$ 上的限制 $f |_{W} \neq 0$ ，则二维子空间 $W$ 称为 $V$ 中的辛平面。

　　辛平面也可描述为：对任意向量 $e_{1}^{'} \neq 0$ ，必存在一向量 $e_{2}^{'}$ 使得 $f (e_{1}^{'}, e_{2}^{'}) \neq 0$ 。

定理 1　

　　设 $V$ 是个实空间（也就是 $F = R$ ），其上有一个非退化的斜对称的双线性型 $f$ 。那么， $\dim V = 2 m$ 且 $V$ 是 $m$ 个对于 $f$ 而言两两斜正交的辛平面的直和。也就是说（定义 1 ）

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} V = ⟨ e_{1}, \dots, e_{n} ⟩ = ⟨ e_{1}^{'}, e_{2}^{'} ⟩ \oplus \dots \oplus ⟨ e_{2 m - 1}^{'}, e_{2 m}^{'} ⟩ \\ f (α e_{2 i - 1}^{'} + β e_{2 i}^{'}, γ e_{2 j - 1}^{'} + δ e_{2 j}^{'}) = 0 (i \neq j) \\ f (e_{2 i - 1}^{'}, e_{2 i}^{'}) = 1 . \end{aligned} \end{matrix}

　　 证明：对 $n = \dim V$ 用归纳法。当 $n = 2$ 时，显然对辛平面 $W = ⟨ e_{1}^{'}, e_{2}^{'} ⟩$ 成立。当 $n > 2$ ， $W$ 在 $V$ 中的斜正交空间 $W^{⊥}$ 为

\begin{matrix} (7) & W^{⊥} = ⟨ x \in V | f (e_{i}^{'}, x) = 0, i = 1, 2 ⟩ . \end{matrix}

把

e_{1}^{'}, e_{2}^{'}

扩充成空间

V

的基底：

\begin{matrix} (8) & V = ⟨ e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, \dots, e_{n}^{'} ⟩, x = x_{1}^{'} e_{1}^{'} + \dots + x_{n}^{'} e_{n}^{'} . \end{matrix}

那么，

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} f (e_{1}^{'}, x) = \sum_{i \neq 1} f_{1 i}^{'} x_{i}^{'} = 0, \\ f (e_{2}^{'}, x) = \sum_{i \neq 2} f_{2 i}^{'} x_{i}^{'} = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

是秩为 2 的方程组（因为

f

是非退换的，与之对应的矩阵

F

的行自然线性无关）。于是该方程组解空间

⟨ e_{1}^{'}, e_{2}^{'} ⟩^{⊥}

的维度是 n-2（推论 1 ）。因为

\begin{matrix} (10) & ⟨ e_{1}^{'}, e_{2}^{'} ⟩ \cap ⟨ e_{1}^{'}, e_{2}^{'} ⟩^{⊥} \in Ker f, \end{matrix}

而

f

非退化意味着对任意非零向量

a \in V

，至少有一向量

b

，使得

f (a, b) \neq 0

，这表明

Ker f = 0

。因此

\begin{matrix} (11) & ⟨ e_{1}^{'}, e_{2}^{'} ⟩ \cap ⟨ e_{1}^{'}, e_{2}^{'} ⟩^{⊥} = 0, \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (12) & V = ⟨ e_{1}^{'}, e_{2}^{'} ⟩ \oplus ⟨ e_{1}^{'}, e_{2}^{'} ⟩^{⊥} . \end{matrix}

而且

f

在

⟨ e_{1}^{'}, e_{2}^{'} ⟩^{⊥}

上的限制是个非退化的斜对称型。事实上，在相反的情形，存在非零向量

a \in ⟨ e_{1}^{'}, e_{2}^{'} ⟩^{⊥}

，使得对任意

x_{1} \in ⟨ e_{1}^{'}, e_{2}^{'} ⟩^{⊥}

，都有

\begin{matrix} (13) & f (a, x_{1}) = 0 . \end{matrix}

那么

\forall x = x_{0} + x_{1} \in V, x_{0} \in ⟨ e_{1}^{'}, e_{2}^{'} ⟩

，成立

\begin{matrix} (14) & f (a, x) = f (a, x_{0} + x_{1}) = f (a, x_{0}) + f (a, x_{1}) = 0, \end{matrix}

这与

f

非退化矛盾。

　　按归纳假设， $⟨ e_{1}^{'}, e_{2}^{'} ⟩^{⊥}$ 是个偶数维空间，而且是两两正交的辛曲面的直和。可知有某个整数 $m$ 使 $n = \dim V = 2 m$ 而且有一基底 $(e_{i}^{″})$ 且 $e_{1}^{″} = e_{1}^{'}, e_{2}^{″} = e_{2}^{'}$ ，使得

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} V = ⟨ e_{1}^{″}, e_{2}^{″} ⟩ \oplus \dots \oplus ⟨ e_{2 m - 1}^{″}, e_{2 m}^{″} ⟩ \\ f (α e_{2 i - 1}^{″} + β e_{2 i}^{″}, γ e_{2 j - 1}^{″} + δ e_{2 j}^{″}) = 0 (i \neq j) \\ f (e_{2 i - 1}^{″}, e_{2 i}^{″}) = 1 . \end{aligned} \end{matrix}

证毕!

推论 1　

　　任意非退化的斜对称的 $2 m \times 2 m$ 阶的矩阵必然合同于

\begin{matrix} (16) & J = (\begin{matrix} 0 & - 1 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \end{matrix}), \end{matrix}

即可以找到非退化矩阵

A

使

A^{T} F A = J

。

　　在对 $f$ 两两斜正交的辛平面基底 $⟨ e_{1}^{'}, e_{2}^{'} ⟩ \oplus \dots \oplus ⟨ e_{2 m - 1}^{'}, e_{2 m}^{'} ⟩$ 下，

\begin{matrix} (17) & f (x, y) = f_{12} (x_{1}^{'} y_{2}^{'} - x_{2}^{'} y_{1}^{'}) + \dots + f_{2 m - 1, 2 m} (x_{2 m - 1}^{'} y_{2 m}^{'} - x_{2 m}^{'} y_{2 m - 1}^{'}), \end{matrix}

这时称斜对称型

f

具有规范型，相应的基底称为

f

的规范基底.

斜对称双线性型的规范型

1. 斜对称双线性型的规范型

定义 1 辛平面

定理 1

推论 1

定义 1　辛平面

定理 1　

推论 1　