贡献者： addis; 零穹; 叶月2_
1. 定义
定义 1 二次型
1域 $\mathbb{F}$ 上有限维空间 $V$ 上的函数 $q:V\rightarrow\mathbb{F}$，若它满足如下两个性质：
- 对任意 $v\in V$ 都有
\begin{equation}
q(-{v})=q(v)~.
\end{equation}
- 由公式
\begin{equation}
f(x, y)=\frac{1}{2} \left[q(x+ y)-q(x)-q(y) \right] ~
\end{equation}
则称 $q$ 是 $V$ 上的二次型（quadratic form），并称 $f$ 的秩为 $q$ 的秩：$ \operatorname {rank} q = \operatorname {rank} f$。另外容易证明 $f$ 是对称的，即 $f(x,y) = f(y,x)$。
利用式 2 ，由 $q$ 得到的对称的双线性型 $f$ 称为极化的，或 $f$ 是与二次型 $q$ 配极的双线性型。
例 1
设 $f$ 是 $V$ 上任意一个对称的双线性型，令
\begin{equation}
q_f( x)=f( x, x)~,
\end{equation}
就得到一个满足二次型定义的函数 $q_f:V\rightarrow\mathbb{F}$。
证明：
\begin{equation}
q_f(-{x})=f(-{x},-{x})=f({x},{x})=q_f({x}) \qquad (\forall x\in V)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{1}{2} \left[q_f(x+ y)-q_f(x)-q_f(y) \right] = \frac{1}{2} \left[f( x+ y, x+ y)-f( x, x)-f( y, y) \right] = f(x, y)~.
\end{equation}
证毕。
注意这里只是证明了 $q_f(v) = f(v,v)$ 是一个二次型，却没有证明定义 1 中 $f(v,v) = q(v)$。
要证明定义 1 中有
\begin{equation}
f(v, v) = q(v)~,
\end{equation}
就必须
定理 1
每一个二次型 $q$ 都可以按着自己的配极双线性型 $f$ 唯一地恢复原型；换言之，$q=q_f$
证明：在式 2 中令 $y=-x$：
\begin{equation}
-f(x,x)=\frac{1}{2}[q(0)-q(x)-q(-x)]~,
\end{equation}
从而
\begin{equation}
q(x)=f(x,x)+\frac{1}{2}q(0)~.
\end{equation}
因为 $f$ 是个双线性型，所以 $f(0,0)=0$。因为，当 $x=0$ 时有 $q(0)=\frac{1}{2}q(0)$，即 $q(0)=0$，也就是说，$q(x)=f(x,x)$。
每一个二次型按式 2 定义一个与其配极对称双线性型 $f$，而由定理 1 ，每一个对称的双线性型 $f$ 有唯一一个二次型 $q$ 与之对应，这就是说，二次型和对称双线性型一一对应。
2. 二次型的矩阵
定义 2 二次型的矩阵
称与 $q$ 配极的双线性型 $f$ 在空间 $V$ 的基底 $(e_1,\cdots,e_n)$ 之下的矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 是二次型 $q=q_f$ 的矩阵。即矩阵元为 $f_{ij} = f(e_i, e_j)$。
若 $a = \sum_i a_i e_i$，$b = \sum_j b_j e_j$，令对应的坐标列矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} = (a_1\ a_2\ \dots) ^{\mathrm{T}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{b}} = (b_1\ b_2\ \dots) ^{\mathrm{T}} $。那么 $f(u, v)$ 可以表示为以下的矩阵运算。
\begin{equation}
f(a, b) = \boldsymbol{\mathbf{a}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{b}} = \sum_{i,j} f_{ij}a_i b_j~,
\end{equation}
对应的二次型为
\begin{equation}
q(a) = \boldsymbol{\mathbf{a}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{a}} = \sum_{i,j} f_{ij}a_i a_j~.
\end{equation}
因为 $f(e_i, e_j) = f(e_j, e_i)$，所以 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $
是一个对称矩阵。
3. 二次型的规范型
定义 3 二次型的规范型（或对角型）
称二次型 $q$ 在 $V$ 的基底 $(e_1,\cdots,e_n)$ 之下具有规范型或对角型，如果对 $\forall x=\sum x_i e_i\in V$，$q(x)$ 的值可用公式
\begin{equation}
q(x)=\sum_{i}f_{ii}x_i^2~
\end{equation}
计算。此时基底 $(e_i)$ 称为对 $q$ 的
规范基底。
令变换矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，则 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{u}} '$，$ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} '$，那么
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{u}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{v}} = ( \boldsymbol{\mathbf{Au'}} ) ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{Av'}} ) = { \boldsymbol{\mathbf{u}} '} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} '={ \boldsymbol{\mathbf{u}} '} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{F}} ' \boldsymbol{\mathbf{v}} '~,
\end{equation}
即二次型对应的矩阵在新旧基底下对应的关系为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} '= \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{FA}} $。
定义 4 合同矩阵
若 $\det \boldsymbol{\mathbf{A}} \neq 0$，则称矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 和矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} '= \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{FA}} $ 是合同的。
1. ^ 本文参考：科斯特利金。代数学引论，第二卷。