实二次型

                     

贡献者： 零穹

预备知识　二次型的规范型

1. 实二次型

　　 在二次型的规范型一节里，已经知道，在任意域 F 上的二次型都具有规范型（或对角型）定义 3 。一般来说，规范型是二次型最简单的形式。但是，在域为实数域，即 F=R 时，可以让规范型式 6

(1)q(x)=λ1x12+⋯+λrxr2 
的所有系数 λi 均为 ±1。

定义 1　实二次型

　　 若二次型 q 所配备的矢量空间 V 定义在实数域 R 上，则 q 称为实二次型。

　　 适当置换基底矢量，可认为前 s 个系数 λ1,⋯,λs 是正的，而其余的系数是负的。进行替换

(2)xi′=λixi(1≤i≤s) ,xi′=−λixi(s+1≤i≤r) ,xi′=xi(r+1≤i≤n) .
即得
(3)q(x)=∑i=1sxi′2−∑i=s+1rxi′2 .
而若对于有理数域 Q，在 λi 为无理数时并不能作这样的简化。

定义 2　标准型

　　 称可以按公式

(4)q(x)=∑i=1sxi2−∑i=s+1rxi2 
计算值的二次型有标准型。

　　 由上面的讨论立刻得

定理 1　

　　 实矢量空间 V 上的所有二次型 q 均可化为标准型。

2. 惯性定理

定理 2　惯性定理

　　 实二次型 q 的标准型式 4 中的整数 r 和 s，s≤r≤n 仅依赖于 q，即与规范基底的选择无关。

　　 证明： 由于 r 不变，故只需证明 s 不变。

　　 设另有一基底 (e1′,⋯,en′)，在其上 q 具有标准型

(5)q(x)=∑i=1txi′2−∑i=t+1rxi′2 
不是一般性，令 t<s。 对子空间
(6)L=⟨e1,⋯,es⟩R,L′=⟨et+1′,⋯,en′⟩R ,
因为 dim(L+L′)≤s+n−t≤n=，那么
(7)dim(L∩L′)=dimL+dimL′−dim(L+L′)≥s+(n−t)−n=s−t>0 .
可见，存在一非零矢量 a∈(L∩L′):
(8)0≠a=∑i=1saiei=∑i=t+1nai′ei′ .
由式 4
(9)q(a)=∑i=1sai2>0 .
由式 5
(10)q(a)=−∑i=t+1nai2≤0 .
式 9 式 10 联立得出矛盾。因此，只能是 s=t。

　　 证毕！

定义 3　惯性指数

　　 称实二次型的秩为惯性指数，数 s 为正惯性指数，r−s 为负惯性指数。

　　 注意：对于复二次型，即 F=C 的情形，正负惯性指数失去任何意义，因为它的规范型完全可以做成所有的 λi 都为 1（或 −1）。

                     

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