实二次型

                     

贡献者: 零穹

预备知识 二次型的规范型

1. 实二次型

   在二次型的规范型一节里,已经知道,在任意域 $\mathbb F$ 上的二次型都具有规范型(或对角型)定义 3 .一般来说,规范型是二次型最简单的形式.但是,在域为实数域,即 $\mathbb F=\mathbb R$ 时,可以让规范型式 6

\begin{equation} q({x})=\lambda_1 x_1^2+\cdots+\lambda_r x_r^2 \end{equation}
的所有系数 $\lambda_i$ 均为 $\pm 1$.

定义 1 实二次型

   若二次型 $q$ 所配备的矢量空间 $V$ 定义在实数域 $\mathbb R$ 上,则 $q$ 称为实二次型

   适当置换基底矢量,可认为前 $s$ 个系数 $\lambda_1,\cdots,\lambda_s$ 是正的,而其余的系数是负的.进行替换

\begin{equation} \begin{aligned} &x'_i=\sqrt{\lambda_i}x_i,\;&1\leq i\leq s;\\ &x'_i=\sqrt{-\lambda_i}x_i,\;&s+1\leq i\leq r;\\ &x'_i=x_i,\; &r+1\leq i\leq n \end{aligned} \end{equation}
即得
\begin{equation} q({x})=\sum_{i=1}^{s}{x'_i}^2-\sum_{i=s+1}^{r} {x'_{i}}^{2}. \end{equation}
而若对于有理数域 $\mathbb Q$,在 $\sqrt{\lambda_i}$ 为无理数时并不能作这样的简化.

定义 2 标准型

   称可以按公式

\begin{equation} q( x)=\sum_{i=1}^{s}{x_i}^2-\sum_{i=s+1}^{r} {x_{i}}^{2} \end{equation}
计算值的二次型有标准型

   由上面的讨论立刻得

定理 1 

   实矢量空间 $V$ 上的所有二次型 $q$ 均可化为标准型.

2. 惯性定理

定理 2 惯性定理

   实二次型 $q$ 的标准型式 4 中的整数 $r$ 和 $s$,$s\leq r\leq n$ 仅依赖于 $q$,即与规范基底的选择无关.

   证明: 由于 $r$ 不变,故只需证明 $s$ 不变.

   设另有一基底 $( e'_1,\cdots, e'_n)$,在其上 $q$ 具有标准型

\begin{equation} q( x)=\sum_{i=1}^{t}{x'_i}^2-\sum_{i=t+1}^{r} {x'_{i}}^{2} \end{equation}
不是一般性,令 $t < s$. 对子空间
\begin{equation} L=\langle e_1,\cdots, e_s\rangle_\mathbb{R},\quad L'=\langle e'_{t+1},\cdots, e'_n\rangle_\mathbb{R} \end{equation}
因为 $\mathrm{dim}\;(L+L')\leq s+n-t\leq n=$,那么
\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{dim}\;(L\cap L')&=\mathrm{dim}\; L+\mathrm{dim}\; L'-\mathrm{dim}\;(L+L')\\ &\geq s+(n-t)-n=s-t > 0 \end{aligned} \end{equation}
可见,存在一非零矢量 $ a\in(L\cap L')$:
\begin{equation} 0\neq a=\sum_{i=1}^s a_i e_i=\sum_{i=t+1}^n a'_i e'_i \end{equation}
式 4
\begin{equation} q( a)=\sum_{i=1}^s a_i^2 > 0 \end{equation}
式 5
\begin{equation} q( a)=-\sum_{i=t+1}^n a_i^2\leq 0 \end{equation}
式 9 式 10 联立得出矛盾.因此,只能是 $s=t$.

   证毕!

定义 3 惯性指数

   称实二次型的秩为惯性指数,数 $s$ 为正惯性指数,$r-s$ 为负惯性指数

   注意:对于复二次型,即 $\mathbb F=\mathbb C$ 的情形,正负惯性指数失去任何意义,因为它的规范型完全可以做成所有的 $\lambda_i$ 都为 $1$(或 $-1$).

                     

© 小时科技 保留一切权利