贡献者： addis
预备知识 安培力
，
斯托克斯定理，静磁场的高斯定律
，矢量算符运算法则
假设空间中有任意磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，无限细的闭合电流回路 $L$ 中有电流 $I$，则其受到的安培力可以用线积分表示为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = -\oint I \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~.
\end{equation}
电流方向若和积分方向相同，则取正，否则去负。
若磁场是匀强磁场，则立即得到
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = I \left(\oint \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \right) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~.
\end{equation}
未完成：引用 $\oint \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 的出处
1. 证明
下面为了书写方便，使用 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i$（$i=1,2,3$）代替 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{z}} $，用 $F_i$（$i=1,2,3$）代替 $F_x, F_y, F_z$，以此类推。
若磁场是任意的，那么
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{F}} &= \oint_L I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \\
&= \sum_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i I\oint_L \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i\\
&= \sum_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i I\oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \\
&= \sum_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i I \int_\Sigma \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~.
\end{aligned} \end{equation}
求和中 $i=1,2,3$，下同。其中用到了斯托克斯定理（
式 1 ），$\Sigma $ 是以闭合曲线 $L$ 为边界的曲面。上式中（
式 6 ）
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\quad \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i)\\
&= \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) + ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{B}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) - ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i\\
&= ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{B}} \\
&= \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial x_i} ~,
\end{aligned}
\end{equation}
这里用到了 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 的任意微分为 0 以及 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0$ 的性质。对称地，将上式中的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 替换成 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $，等式也成立。所以
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = \sum_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i I\int_\Sigma \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial x_i} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~.
\end{equation}
写成分量的形式，就是
\begin{equation}
F_i = I\int_\Sigma \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial x_i} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~.
\end{equation}
相关文章：“磁场中闭合电流的力矩”。