磁场中闭合电流的合力

                     

贡献者: addis

预备知识 安培力斯托克斯定理,静磁场的高斯定律,矢量算符运算法则

   假设空间中有任意磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$,无限细的闭合电流回路 $L$ 中有电流 $I$,则其受到的安培力可以用线积分表示为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = -\oint I \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~. \end{equation}
电流方向若和积分方向相同,则取正,否则去负。

   若磁场是匀强磁场,则立即得到

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = I \left(\oint \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \right) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~. \end{equation}
未完成:引用 $\oint \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 的出处

1. 证明

   下面为了书写方便,使用 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i$($i=1,2,3$)代替 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{z}} $,用 $F_i$($i=1,2,3$)代替 $F_x, F_y, F_z$,以此类推。

   若磁场是任意的,那么

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{F}} &= \oint_L I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \\ &= \sum_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i I\oint_L \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i\\ &= \sum_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i I\oint_L ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \\ &= \sum_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i I \int_\Sigma \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~. \end{aligned} \end{equation}
求和中 $i=1,2,3$,下同。其中用到了斯托克斯定理(式 1 ),$\Sigma $ 是以闭合曲线 $L$ 为边界的曲面。上式中(式 6
\begin{equation} \begin{aligned} &\quad \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i)\\ &= \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) + ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{B}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) - ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i\\ &= ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{B}} \\ &= \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial x_i} ~, \end{aligned} \end{equation}
这里用到了 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 的任意微分为 0 以及 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0$ 的性质。对称地,将上式中的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 替换成 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $,等式也成立。所以
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \sum_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i I\int_\Sigma \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial x_i} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~. \end{equation}
写成分量的形式,就是
\begin{equation} F_i = I\int_\Sigma \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial x_i} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~. \end{equation}

   相关文章:“磁场中闭合电流的力矩”。

                     

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