连续叉乘的化简
贡献者： addis
几何矢量的连续两个叉乘的化简也叫 BAC-CAB 定理
\begin{gather}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} ) = \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} ) - \boldsymbol{\mathbf{C}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} )~,\\
( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} ) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{C}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} ) - \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} )~,
\end{gather}
要证明这个定理可以将每个叉乘在各个基底上展开（式 11 ）。
这里对连续叉乘的几何意义略作说明，可以用于理解该公式的结构。以式 1 为例，根据叉乘的几何意义我们知道 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} $（命名为 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $）方向垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 所在平面。又因为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $，所以最终的矢量再次落到 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 所在平面上，所以等式右边是 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的线性组合。
下面来介绍一种简单的记忆方法，括号外的矢量在哪边，括号内靠近那边的矢量所在的项前面就是正号，另一项前面则是负号1，如图 1 所示。
图 1：三矢量叉乘的化简
1. ^ 又或者记忆三组矢量中，中间位置的矢量是正号。