圆锥曲线与圆锥（高中）

                     

贡献者： addis; 欄、停敘

　　 椭圆的存在如此普遍，以至于早在在公元前 3 世纪的古希腊时期，在没有坐标、没有代数、没有计算器的情况下，数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga）就在《圆锥曲线论》中对它进行了研究。

　　 阿波罗尼奥斯之前的古人相信天体运行是完美的圆。但随着时间推移，人们观察到了不那么完美的现象：行星轨迹有 “逆行”，日月运行有周期波动，日月食不是完全等间距出现等等。这些 “不完美” 让人开始思考：也许圆不是唯一的完美曲线。在这样的气氛下，阿波罗尼奥斯提出圆锥曲线是一种比圆更丰富的几何家族，是一种可能的 “自然运动路径”。

　　 阿波罗尼乌斯受欧几里得《几何原本》的影响，希望将所有圆锥曲线系统化，像欧几里得那样构建一个逻辑完备的 “曲线几何宇宙”。

1. 圆锥视角下的圆锥曲线

　　 圆锥曲线之所以叫做圆锥曲线，是因为它们可以由平面截取圆锥面得到（图 1 ）。然而由于这涉及较为繁琐的计算，所以初学圆锥曲线时我们往往先介绍更简单的定义，例如 “圆锥曲线的极坐标方程” 中的定义，或者直接在 $x$-$y$ 直角坐标系中使用二次方程定义（见预备知识）。以下我们来证明双圆锥被平面截出的任意曲线都是圆锥曲线。

　　 双圆锥面如图 2 所示。在直角坐标系 $x$-$y$-$z$ 中，为了方便我们使用顶角（两条母线的最大夹角）为 $\pi /2$ 的圆锥

　　 其方程为

对其他顶角的圆锥，我们只需要把 $z$ 轴缩放一下即可。

　　 我们可以再列出一个一般的平面方程与式 1 联立得到方程组，但这样解出来的曲线将与 $x$-$y$ 平面未必平行。所以更方便的办法是先把圆锥旋转一下，再用某个和 $x$-$y$ 平面平行的平面 $z=z_0$ 去截出曲线。这样就方便化为圆锥曲线的标准方程。关于 $y$ 轴的旋转变换为¹

代入式 1 得 这相当于把圆锥关于 $y$ 轴用右手定则旋转了 $\theta$。当 $\theta \ne \pi /4$ 时，化成椭圆或双曲线的标准方程（式 16 式 14 ） 长半轴、短半轴和离心率分别为 当 $\theta <\pi /4$ 时，式中 $\cos 2\theta >0$，就得到了椭圆（$e<1$），反之则得到双曲线。

　　 当 $\theta =\pi /4$，式 4 化为抛物线（$e=1$）的标准方程（式 4 ）

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1. ^ 式 2 和式 3 可以表示为 $3\times 3$ 的三维旋转矩阵。