平面旋转变换
贡献者： addis; Giacomo
- 本文处于草稿阶段。
图 1：把矢量绕原点旋转 $\alpha$ 角
已知直角坐标系中一点 $P(x,y)$，$P$ 绕原点逆时针旋转 $\alpha $ 角（$\alpha \in R$）之后变为 $P'(x',y')$ 则有
\begin{align}
x' &= (\cos \alpha)x + (- \sin \alpha)y ~,\\
y' &= (\sin \alpha)x + (\cos \alpha)y~.
\end{align}
\begin{align}
x &= ( \cos \alpha )x' + ( \sin \alpha )y' ~,\\
y &= ( - \sin \alpha)x' + ( \cos \alpha )y'~,
\end{align}
绕任点旋转
要绕任意点 $(x_0, y_0)$ 旋转，只需要先把矢量末端平移 $(-x_0, -y_0)$，绕原点旋转后再平移 $(x_0, y_0)$ 即可
\begin{equation}
\begin{aligned}
x' &= ( \cos \alpha )(x-x_0) + ( \sin \alpha )(y-y_0) + x_0 ~,\\
y' &= ( - \sin \alpha)(x-x_0) + ( \cos \alpha )(y-y_0) + y_0~.
\end{aligned}
\end{equation}
1. 推导
平面上一点 $P(x,y)$ 也可以用极坐标 $(r, \theta)$ 表示，一般情况下令极点与原点重合，极径与 $x$ 轴重合，则有
\begin{equation}
x = r\cos \theta~, \qquad y = r\sin \theta ~.
\end{equation}
\begin{align}
x' &= r \cos\left(\theta + \alpha\right) = r\cos\theta \cos\alpha - r\sin\theta \sin\alpha = x\cos\alpha - y\sin\alpha ~,\\
y' &= r \sin\left(\theta + \alpha\right) = r\sin\theta \cos\alpha + r\cos\theta \sin\alpha = x\sin\alpha + y\cos\alpha ~.
\end{align}
若要证式 3 和式 4 有两种方法。一是将式 1 和式 2 式中的 $x, y$ 看成未知数，解二元一次方程组。另一种方法的思路是，既然 $P$ 逆时针旋转 $\alpha $ 角为 $P'$，那么把 $P'$ 顺时针旋转 $\alpha$ 角可得到 $P$。而 “顺时针旋转 $\alpha$ 角” 就是 “逆时针旋转 $-\alpha $ 角”。把变换式 1 和式 2 中的 $\alpha$ 换为 $-\alpha$ 再化简得
\begin{align}
x &= \cos\left(-\alpha\right) x' - \sin\left(-\alpha\right) y' = \cos\alpha x' + \sin\alpha y'~,\\
y &= \sin\left(-\alpha\right) x' + \cos\left(-\alpha\right) y' = -\sin\alpha x' + \cos\alpha y'~.
\end{align}