平面旋转变换

贡献者： addis; Giacomo

本文处于草稿阶段。

预备知识　三角恒等式，极坐标系，几何向量的线性变换

图 1：把矢量绕原点旋转

α

角

　　已知直角坐标系中一点 $P (x, y)$ ， $P$ 绕原点逆时针旋转 $α$ 角（ $α \in R$ ）之后变为 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ 则有

\begin{aligned} (1) & x^{'} & = (\cos α) x + (- \sin α) y, \\ (2) & y^{'} & = (\sin α) x + (\cos α) y . \end{aligned}

其逆变换如下，即已知

P^{'} (x^{'}, y^{'})

求

P (x, y)

\begin{aligned} (3) & x & = (\cos α) x^{'} + (\sin α) y^{'}, \\ (4) & y & = (- \sin α) x^{'} + (\cos α) y^{'}, \end{aligned}

这相当于把

(x^{'}, y^{'})

顺时针旋转

α

得到

(x, y)

。

绕任点旋转

　　要绕任意点 $(x_{0}, y_{0})$ 旋转，只需要先把矢量末端平移 $(- x_{0}, - y_{0})$ ，绕原点旋转后再平移 $(x_{0}, y_{0})$ 即可

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} x^{'} & = (\cos α) (x - x_{0}) + (\sin α) (y - y_{0}) + x_{0}, \\ y^{'} & = (- \sin α) (x - x_{0}) + (\cos α) (y - y_{0}) + y_{0} . \end{aligned} \end{matrix}

例 1　旋转双曲线

　　我们来证明函数 $y^{'} = 1 / x^{'}$ 的曲线为双曲线。由于双曲线标准方程表示的双曲线是关于 $x$ 轴对称的，我们需要把 $(x^{'}, y^{'})$ 顺时针旋转 $π / 4$ 得到 $(x, y)$ ，即上面的 $α = π / 4$ 。把式 1 和式 2 代入 $y^{'} = 1 / x^{'}$ 得

\begin{matrix} (6) & \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1 . \end{matrix}

这符合双曲线的标准方程，所以

y^{'} = 1 / x^{'}

是一个双曲线。

1. 推导

　　平面上一点 $P (x, y)$ 也可以用极坐标 $(r, θ)$ 表示，一般情况下令极点与原点重合，极径与 $x$ 轴重合，则有

\begin{matrix} (7) & x = r \cos θ, y = r \sin θ . \end{matrix}

把点

P

绕原点逆时针旋转

α

角变为

P^{'}

，则

P^{'}

极坐标为

(r, θ + α)

。根据上式计算为

P^{'}

的直角坐标

(x^{'}, y^{'})

并用两角和公式（式 4 ）化简如下

\begin{aligned} (8) & x^{'} & = r \cos (θ + α) = r \cos θ \cos α - r \sin θ \sin α = x \cos α - y \sin α, \\ (9) & y^{'} & = r \sin (θ + α) = r \sin θ \cos α + r \cos θ \sin α = x \sin α + y \cos α . \end{aligned}

这就证明了式 1 和式 2 两式。

　　若要证式 3 和式 4 有两种方法。一是将式 1 和式 2 式中的 $x, y$ 看成未知数，解二元一次方程组。另一种方法的思路是，既然 $P$ 逆时针旋转 $α$ 角为 $P^{'}$ ，那么把 $P^{'}$ 顺时针旋转 $α$ 角可得到 $P$ 。而 “顺时针旋转 $α$ 角” 就是 “逆时针旋转 $- α$ 角”。把变换式 1 和式 2 中的 $α$ 换为 $- α$ 再化简得

\begin{aligned} (10) & x & = \cos (- α) x^{'} - \sin (- α) y^{'} = \cos α x^{'} + \sin α y^{'}, \\ (11) & y & = \sin (- α) x^{'} + \cos (- α) y^{'} = - \sin α x^{'} + \cos α y^{'} . \end{aligned}

证毕。

平面旋转变换

绕任点旋转

例 1 旋转双曲线

1. 推导

例 1　旋转双曲线