三维旋转矩阵
贡献者： addis
类比平面旋转矩阵，空间旋转矩阵是三维直角坐标的旋转变换，所以应该是 $3 \boldsymbol\times 3$ 的方阵。不同的是平面旋转变换只有一个自由度 $\theta $，而空间旋转变换除了转过的角度还需要考虑转轴的方向，三维空间中的方向有两个自由度，所有三维旋转矩阵共有 3 个自由度。
若已经知道空间直角坐标系中三个单位正交矢量
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} ~, \quad
\hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} ~, \quad
\hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
经过三维旋转矩阵变换以后变为另外三个正交归一矢量。仍然以 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 作为基底，把他们分别记为
\begin{equation}
\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{pmatrix} ~,\quad \begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\a_{32}\end{pmatrix} ~,\quad \begin{pmatrix}a_{13}\\a_{23}\\a_{33}\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
类比
平面旋转矩阵，可以得到旋转矩阵为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{R}} _3 = \begin{pmatrix}
{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\
{a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\
{a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}}
\end{pmatrix}~.\end{equation}
这 9 个矩阵元只有 3 个是独立的，因为我们有 6 个条件：每个列矢量模长等于 1（3 个等式），且两两间正交（3 个等式）。
除了通过三个单位矢量构建旋转矩阵，我们可以通过由转轴的方向和旋转的角度来计算每个矩阵元，参考 “罗德里格旋转公式” 和 “四元数”。另一种常见的方法是使用欧拉角。
未完成：例题：分别给出绕 $x,y,z$ 轴旋转的三维矩阵。
1. 被动理解
未完成：参考 “平面旋转变换” 中的讲述
2. 逆矩阵
未完成：如果我们把
式 2 中的三个正交归一基底记为……