压缩映射

                     

贡献者： 零穹

　　 在正式定义之前，我们先讨论根据 “压缩映射” 这一名词应该怎么定义它。首先，压缩映射是集合到自身的一个映射（因为 “压缩” 就应该是种包含关系）。其次，“压缩” 是指对集合中任意两点，在压缩映射下两点的像点的 “距离” 比两原像更小。这就是说，压缩映射是定义在带有 “距离” 的集合上的，这样的集合便是度量空间。容易验证，满足上面定义的压缩映射 $A$ 的定义集合 $X$ 是个无限集。事实上，若 $X$ 有限，且 $d:X\times X\to \mathbb{R}$ 是距离函数¹。我们构建两个序列

由于 $X$ 有限，所以必有 $m_1<n_1,m_2<n_2$ 存在，使得 $A^{m_1}x=A^{n_1}x,A^{m_2}y=A^{n_2}y$。那么 同理 于是 但是 $A$ 是压缩映射要求任意 $n>0$，都有 $d(A^{n}x,A^{n}y)<d(x,y)$²。式 4 与这是矛盾的，这表明压缩映射必须定义在无限集上。上面的论证中用到了这样的事实，即映射可作用在其定义集合的所有元上。

　　 于是下面的定义就是容易理解的了。

　　 证明：类比函数的连续性，度量空间 $(M,d)$ 到度量空间 $(M^{\prime },d^{\prime })$ 上的连续映射可以描述为：对任意正数 $ϵ$，若存在数 $\delta$，只要 $x$ 满足 $d(x,x_0)<\delta$，就有 $d^{\prime }(f(x),f(x_0))<ϵ$，则称映射 $f$ 在点 $x_0$ 连续。下面我们来证明压缩映射确是在度量空间上为连续。

　　 设 $x_0$ 为 $M$ 上任一点，对任意 $ϵ>0$, 取 $\delta =ϵ$，于是对任意 $x$, 只要 $d(x,x_0)<ϵ$，就有

于是 $d$ 在 $x_0$ 连续，由于 $x_0$ 的任意性，$d$ 是连续映射。

　　 证毕！

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1. ^ 表示"距离"的集合的元素应都是可比较的，就是说它是个有序集，不妨将这个集合取作实数集。
2. ^ $A^{n}x$ 表示把 $x$ 压缩 $n$ 次